Das Kalenderblatt 110609

08/06/2011 - 07:48 von WM | Report spam
Die Hessenbergpredigt, 3. Hauptstück: Von der unbeendbaren
Unendlichkeit.

Nàchst dem Kontinuum am bekanntesten und in ihrer Struktur in mancher
Hinsicht einfacher ist die zweite Cantorsche Zahlklasse. Sie zeigt
besser als das Kontinuum, welchen Einfluß die Nichtabzàhlbarkeit auf
die mathematische Behandlung hat.
Durch die drei Operationen a + b, a*b, a^b und das neue Zeichen w
{{Buchstaben im Original griechisch}} können wir eine abzàhlbare Menge
von Zahlen der zweiten Klasse systematisch bezeichnen und damit den
Anfang der Reihe hinschreiben, aber auch nur den Anfang. Er sieht so
aus:

w, w+1, w+2, ... w+k, ...
w*2, w*2+1, w*2+2, ...w*2+k, ...
w*3, w*3+1, w*3+2, ...w*3+k, ...
... ... ... ...
w*n, w*n+1, w*n+2, ...w*n+k, ...
... ... ... ...
w^2, w^2 +1, w^2 +2, ...w^2 +k, ...
...
w^2 + w, w^2 + w +1, ... u. s. f.
...
w^2 + w*n, ...
w^2 * 2, w^2 * 2+1, ... u. s. f.

Wir gelangen zu w^3, w^3, ... w^w, weiter zu w^w^w etc., und sind
damit imstande, alle Zahlen unterhalb der ersten Epsilonzahl zu
bezeichnen. Diese selbst aber genügt den drei Gleichungen
w + eps = w*eps = w^eps, làßt sich also nicht durch unsere drei
Operationen auf w zurückführen. Fügen wir jetzt s als neues Zeichen zu
den bisher benutzten Zeichen 0, 1, ... 9, w hinzu, so gestattet dieses
neue Zeichensystem die Bezeichnung bis zur zweiten eps-Zahl
Bezeichnen wir die Epsilonzahlen durchweg mit eps_a, worin a der
Ordnungstypus der Menge aller vorangehenden Epsilonzahlen ist, so
gelangen wir damit bis zu der ersten Epsilonzahl, die ihrem eigenen
Index gleich ist und für die eine Bezeichnung noch nicht eingeführt
ist. Wir sehen also, daß die Bezeichnung der zweiten Zahlklasse
dauernd zur Einführung neuer Zeichen zwingt. Interessant ist dabei nun
die Tatsache, daß nur eine endliche Anzahl von neuen Zeichen
erforderlich ist, um bis zu einem vorgeschriebenen Typus zu gelangen.
{{Das sehen wie nur, solange die drei Pünktchen wacker mitkàmpfen.
Denn schon in der ersten Zeile führt /kein/ endliches k zur
Eliminierung der dort abschließenden drei Pünktchen. Wir können sogar
auf die erste Zahlenklasse rekurrieren:

1, 2, 3, ..., k, ...

und feststellen:

Satz: Keine endliche Anzahl von Zeichen beseitigt die finalen
Pünktchen in dieser Zeile.

Die logische Kontraposition lautet: Um die finalen Pünktchen in dieser
Zeile eliminieren, ist eine unendliche Anzahl von Zeichen
erforderlich.

Würde man alle endlichen Zahlen darstellen, so bràuchte man keine
Pünktchen. Damit ergibt sich das Korollar: Unter allen mit endlich
vielen Zeichen darstellbaren Zahlen existiert mindestens eine nicht
mit endlich vielen Zeichen darstellbare natürliche Zahl.

Folgerung: Die Quantifizierung "alle mit endlich vielen Zeichen
darstellbaren Zahlen" impliziert einen Selbstwiderspruch und ist damit
sinnlos. Oder mit anderen Worten: Every statement that starts "for
every integer n" is completely meaningless. (Doron Zeilberger)}}

[Gerhard Hessenberg; "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus
den "Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 94]

Gruß, WM

http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/
 

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#1 Ralf Bader
09/06/2011 - 02:16 | Warnen spam
WM wrote:

Die Hessenbergpredigt, 3. Hauptstück: Von der unbeendbaren
Unendlichkeit.

Nàchst dem Kontinuum am bekanntesten und in ihrer Struktur in mancher
Hinsicht einfacher ist die zweite Cantorsche Zahlklasse. Sie zeigt
besser als das Kontinuum, welchen Einfluß die Nichtabzàhlbarkeit auf
die mathematische Behandlung hat.
Durch die drei Operationen a + b, a*b, a^b und das neue Zeichen w
{{Buchstaben im Original griechisch}} können wir eine abzàhlbare Menge
von Zahlen der zweiten Klasse systematisch bezeichnen und damit den
Anfang der Reihe hinschreiben, aber auch nur den Anfang. Er sieht so
aus:

w, w+1, w+2, ... w+k, ...
w*2, w*2+1, w*2+2, ...w*2+k, ...
w*3, w*3+1, w*3+2, ...w*3+k, ...
... ... ... ...
w*n, w*n+1, w*n+2, ...w*n+k, ...
... ... ... ...
w^2, w^2 +1, w^2 +2, ...w^2 +k, ...
...
w^2 + w, w^2 + w +1, ... u. s. f.
...
w^2 + w*n, ...
w^2 * 2, w^2 * 2+1, ... u. s. f.

Wir gelangen zu w^3, w^3, ... w^w, weiter zu w^w^w etc., und sind
damit imstande, alle Zahlen unterhalb der ersten Epsilonzahl zu
bezeichnen. Diese selbst aber genügt den drei Gleichungen
w + eps = w*eps = w^eps, làßt sich also nicht durch unsere drei
Operationen auf w zurückführen. Fügen wir jetzt s als neues Zeichen zu
den bisher benutzten Zeichen 0, 1, ... 9, w hinzu, so gestattet dieses
neue Zeichensystem die Bezeichnung bis zur zweiten eps-Zahl
Bezeichnen wir die Epsilonzahlen durchweg mit eps_a, worin a der
Ordnungstypus der Menge aller vorangehenden Epsilonzahlen ist, so
gelangen wir damit bis zu der ersten Epsilonzahl, die ihrem eigenen
Index gleich ist und für die eine Bezeichnung noch nicht eingeführt
ist. Wir sehen also, daß die Bezeichnung der zweiten Zahlklasse
dauernd zur Einführung neuer Zeichen zwingt. Interessant ist dabei nun
die Tatsache, daß nur eine endliche Anzahl von neuen Zeichen
erforderlich ist, um bis zu einem vorgeschriebenen Typus zu gelangen.
{{Das sehen wie nur, solange die drei Pünktchen wacker mitkàmpfen.
Denn schon in der ersten Zeile führt /kein/ endliches k zur
Eliminierung der dort abschließenden drei Pünktchen. Wir können sogar
auf die erste Zahlenklasse rekurrieren:

1, 2, 3, ..., k, ...

und feststellen:

Satz: Keine endliche Anzahl von Zeichen beseitigt die finalen
Pünktchen in dieser Zeile.

Die logische Kontraposition lautet: Um die finalen Pünktchen in dieser
Zeile eliminieren, ist eine unendliche Anzahl von Zeichen
erforderlich.

Würde man alle endlichen Zahlen darstellen, so bràuchte man keine
Pünktchen. Damit ergibt sich das Korollar: Unter allen mit endlich
vielen Zeichen darstellbaren Zahlen existiert mindestens eine nicht
mit endlich vielen Zeichen darstellbare natürliche Zahl.

Folgerung: Die Quantifizierung "alle mit endlich vielen Zeichen
darstellbaren Zahlen" impliziert einen Selbstwiderspruch und ist damit
sinnlos. Oder mit anderen Worten: Every statement that starts "for
every integer n" is completely meaningless. (Doron Zeilberger)}}

[Gerhard Hessenberg; "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus
den "Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 94]

Gruß, WM

http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/



Schon faszinierend, Mückenheim. Immer wenn man glaubt, blöder geht's nimmer,
stellen Sie einen neuen Rekord in Dàmlichkeit und Doofheit auf. Aus der
Gesamtmasse des von Ihnen hier oben verzapften Schwachsinns sticht
allerdings besonders apart hervor, daß gerade jener Solomon Feferman, den
Sie als eine Art Mitkàmpfer für Ihre blöde Rotze zu betrachten scheinen,
auf dem Gebiet der Ordinalzahlennotation Beitràge geliefert hat, cf.
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_notation

Neueste Forschungsergebnisse aus deutschen Spitzenhochschulen. Heute von
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim, Mathematikkoryphàe der FH Augsburg, aus
seiner Postille "Physical constraints of numbers": "Even some single
numbers smaller than 2^10^100 ... do not exist."

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