Das Kalenderblatt 110614

13/06/2011 - 10:22 von WM | Report spam
Die Hessenbergpredigt, 8. Hauptstück: Vom falschen Schluss.

a) Da es nicht für alle Zahlen des Kontinuums eine endliche
Darstellung geben kann, so gibt es Zahlen, die nicht endlich
darstellbar sind. {{Das ist zwingende Logik.}}
b) Es sei M die Menge aller endlich darstellbaren Zahlen des
Kontinuums. Sie ist abzàhlbar, definiert also nach dem
Diagonalverfahren eine nicht in ihr enthaltene Zahl u.
c) u ist nicht darstellbar, weil nicht in M enthalten. Wir haben
aber seine Definition soeben mit einer endlichen Anzahl von Worten
ausgesprochen, also ist u doch endlich darstellbar.

Daß a) falsch ist, war soeben gezeigt. {{So? Wo? Ein Beweis gegen
Hessenbergs Behauptung ist die Cantorsche Diagonalzahl! Sie ist ein
Element des Kontinuums und besteht in der Regel aus unendlich vielen
absolut zusammenhanglosen Ziffern. Mit Ausnahme von sehr
ausgeklügelten Listen, die indessen Cantorschen Intentionen diametral
zuwiderlaufen, ist eine Diagonalzahl eine nicht durch ein endliches
Gesetz darstellbare Zahl.}} Es gibt keine endliche Darstellung für
alle Zahlen des Kontinuums zugleich, trotzdem kann jede einzelne
endlich darstellbar sein {{Aus einem hinkenden Vergleich (hier
zwischen zweiter Zahlenklasse und Kontinuum, s. KB110609), der allein
durch eine Wohlordnung des Kontinuums zu einem weniger hinkenden
gemacht werden könnte (nicht aber durch einen "Beweis" solcher
Wohlordbarkeit! - Beweise dieser Art sind in der Mathematik weit
weniger wert als die Lira kurz vor ihrem Ende und die Drachme kurz
nach ihrem Neustart) làsst sich kein Schluss ziehen.}} wie wir
deutlicher an der zweiten Zahlklasse sahen, auf die das Paradoxon
ebensogut paßt {{Eben nicht! Warum hinkt der Vergleich? Darum: Die
zweite Zahlenklasse erscheint in der Hessenbergschen Darstellung
wohlgeordnet - die reellen Zahlen erscheinen in keiner Darstellung
wohlgeordnet. Warum ist das wohl so?}}. Infolgedessen ist auch der
Schluß b) falsch, der nur a) umkehrt. {{Es bleibt mit mathematischer
Pràzision festzuhalten: Hessenberg hat in keinem Satz gezeigt, dass
jedes Element einer überabzàhlbaren Menge endlich darstellbar sein
muss. Diese Behauptung ist auch so widersinnig, dass man sie selbst
dann nicht glauben könnte, wenn Hessenberg oder Zermelo sie bewiesen
hàtten. Denn selbstverstàndlich wird jedes Element, das mit einem
endlichen Informationsinhalt existiert, in einer abzàhlbar-unendlichen
Liste etwa der folgenden Form

0
1
00
01
10
11
...

dargestellt. Eine überabzàhlbare Menge wird damit aber keineswegs
erschöpft. Nehmen wie einfach einmal an, wir hàtten alle endlichen
Darstellungen verbraucht. Damit wàren nur abzàhlbar viele Zahlen
bezeichnet. Wie sollte dann wohl noch eine weitere Zahl bezeichnet
werden?}}
[Gerhard Hessenberg; "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus
den "Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 95]

Gruß, WM

http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/
 

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#1 wernertrp
13/06/2011 - 10:52 | Warnen spam
On 13 Jun., 10:22, WM wrote:
Die Hessenbergpredigt, 8. Hauptstück: Vom falschen Schluss.

   a) Da es nicht für alle Zahlen des Kontinuums eine endliche
Darstellung geben kann, so gibt es Zahlen, die nicht endlich
darstellbar sind. {{Das ist zwingende Logik.}}
   b) Es sei M die Menge aller endlich darstellbaren Zahlen des
Kontinuums. Sie ist abzàhlbar, definiert also nach dem
Diagonalverfahren eine nicht in ihr enthaltene Zahl u.
   c) u ist nicht darstellbar, weil nicht in M enthalten. Wir haben
aber seine Definition soeben mit einer endlichen Anzahl von Worten
ausgesprochen, also ist u doch endlich darstellbar.

Daß a) falsch ist, war soeben gezeigt. {{So? Wo? Ein Beweis gegen
Hessenbergs Behauptung ist die Cantorsche Diagonalzahl! Sie ist ein
Element des Kontinuums und besteht in der Regel aus unendlich vielen
absolut zusammenhanglosen Ziffern. Mit Ausnahme von sehr
ausgeklügelten Listen, die indessen Cantorschen Intentionen diametral
zuwiderlaufen, ist eine Diagonalzahl eine nicht durch ein endliches
Gesetz darstellbare Zahl.}} Es gibt keine endliche Darstellung für
alle Zahlen des Kontinuums zugleich, trotzdem kann jede einzelne
endlich darstellbar sein {{Aus einem hinkenden Vergleich (hier
zwischen zweiter Zahlenklasse und Kontinuum, s. KB110609), der allein
durch eine Wohlordnung des Kontinuums zu einem weniger hinkenden
gemacht werden könnte (nicht aber durch einen "Beweis" solcher
Wohlordbarkeit! - Beweise dieser Art sind in der Mathematik weit
weniger wert als die Lira kurz vor ihrem Ende und die Drachme kurz
nach ihrem Neustart) làsst sich kein Schluss ziehen.}} wie wir
deutlicher an der zweiten Zahlklasse sahen, auf die das Paradoxon
ebensogut paßt {{Eben nicht! Warum hinkt der Vergleich? Darum: Die
zweite Zahlenklasse erscheint in der Hessenbergschen Darstellung
wohlgeordnet - die reellen Zahlen erscheinen in keiner Darstellung
wohlgeordnet. Warum ist das wohl so?}}. Infolgedessen ist auch der
Schluß b) falsch, der nur a) umkehrt.  {{Es bleibt mit mathematischer
Pràzision festzuhalten: Hessenberg hat in keinem Satz gezeigt, dass
jedes Element einer überabzàhlbaren Menge endlich darstellbar sein
muss. Diese Behauptung ist auch so widersinnig, dass man sie selbst
dann nicht glauben könnte, wenn Hessenberg oder Zermelo sie bewiesen
hàtten. Denn selbstverstàndlich wird jedes Element, das mit einem
endlichen Informationsinhalt existiert, in einer abzàhlbar-unendlichen
Liste etwa der folgenden Form

0
1
00
01
10
11
...

dargestellt. Eine überabzàhlbare Menge wird damit aber keineswegs
erschöpft.  Nehmen wie einfach einmal an, wir hàtten alle endlichen
Darstellungen verbraucht. Damit wàren nur abzàhlbar viele Zahlen
bezeichnet. Wie sollte dann wohl noch eine weitere Zahl bezeichnet
werden?}}
[Gerhard Hessenberg; "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus
den "Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906) § 95]

Gruß, WM

http://www.hs-augsburg.de/~mueckenh/KB/



Wenn man unendlich schnell zufàllige Zahlen (auch unendlich große)
erzeugen würde,
würden diese Zahlen das Kontinuum vollstàndig füllen ?

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