Das Kalenderblatt 110705

04/07/2011 - 08:55 von WM | Report spam
Der vollstàndige unendliche Binàre Baum besitzt abzàhlbar unendlich
viele Niveaus und abzàhlbar unendlich viele Knoten:


0 0
/ \
1 1 2
/ \ / \
2 3 4 5 6
/
3 7 ...
...


Am ersten Niveau trennt sich die Menge aller Pfade in zwei disjunkte
Pfadbündel 0,0abc... und 0,1xyz..., am zweiten Niveau trennen sich
diese Pfadbündel abermals in jeweils disjunkte zwei Pfadbündel usw.
Die Anzahl der disjunkten Pfadbündel verdoppelt sich auf jedem Niveau.
Der unendliche Binàre Baum liefert somit 2^aleph_0 disjunkte (unterscheidbare) Pfadbündel.
Die Anzahl der disjunkten Pfadbündel wàchst an jedem Knoten um genau
eines. Der unendliche Binàre Baum liefert demnach aleph_0 disjunkte
Pfadbündel.

Für disjunkte Pfadbündel gilt demnach:
2^aleph_0 = aleph_0

Zur Prüfung dieser Überlegungen definieren wir den Majorantenbaum. Er
besitzt bezüglich der Knoten genau dieselbe Struktur wie der Binàre
Baum, jedoch werden seine Knoten nicht von Pfaden durchlaufen, sondern
an jedem Knoten beginnen drei Pfade, die sich ohne Weiteres ins
Unendliche erstrecken. Die Menge der Pfade des Majorantenbaums ist auf
jeder Ebene eine Majorante der Menge der disjunkten Pfadbündel des
Binàren Baums. Die Menge aller Pfade des Majorantenbaums ist 3*aleph_0
= aleph_0.

Gruß, WM
 

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#1 Franz Fritsche
04/07/2011 - 18:07 | Warnen spam
On Sun, 3 Jul 2011 23:55:04 -0700 (PDT), WM wrote:

Am ersten Niveau trennt sich die Menge aller Pfade in zwei disjunkte
Pfadbündel 0,0abc... und 0,1xyz..., am zweiten Niveau trennen sich
diese Pfadbündel abermals in jeweils disjunkte zwei Pfadbündel usw.



Diese Pfadbündel entsprechen also genau den Kanten des Baumes. Klar, weil
die jeweiligen Pfade eines best. Bündels durch genau die jeweilige
zugeordnete Kante laufen. Die Bestimmung der Anzahl der Pfadbündel kann
also auf die Bestimmung der Anzahl der Kanten im binàren Baum zurückgeführt
werden.

(Kleine Anmerkung am Rande: den Begriff "Pfadbündel" habe übrigens ich vor
ein paar Jahren hier in die Diskussion eingebracht.)

Die Anzahl der disjunkten Pfadbündel [Kanten] verdoppelt sich auf jedem
Niveau.



Ja.

Der unendliche Binàre Baum liefert somit 2^aleph_0 disjunkte (> unterscheidbare) Pfadbündel [Kanten]



Halt, halt, halt: So darf/kann man nicht schließen - zumindest nicht im
Kontext der sog. Mengenlehre.

Alles, was Du sagen kannst, ist, dass für alle n e IN\{0} gilt:

#K_n = 2^n ,

wenn #K_n die Anzahl der Kanten (Pfadbündel) des Niveaus n ist.

Der "Schluss" auf aleph_0 ist unzulàssig; Du kannst hier für n nicht
einfach aleph_0 einsetzen - nicht zuletzt, weil n keine nat. Zahl ist.
(Obige Formel gilt nur für nat. Zahlen, und kann - per Induktion - auch nur
für solche bewiesen werden.) Hint: Es gibt keine Ebene n = aleph_0 im Baum.

Die Anzahl der disjunkten Pfadbündel [Kanten] wàchst an jedem Knoten um
genau eines. Der unendliche Binàre Baum liefert [...] aleph_0 disjunkte
Pfadbündel [Kanten].



Das ist wiederum korrekt, und zwar weil man die Kanten _abzàhlen_ kann.
Anzahl der Knoten = Anzahl der Kanten = Anzahl der Pfadbündel = aleph_0.

[Es] gilt demnach: 2^aleph_0 = aleph_0



Nein, das gilt gilt nicht. Siehe Erklàrung oben.

<Weiteren Unsinn gelöscht>

Und _Du_ unterrichtest Mathematik an einer Fachhochschule?! :-o

MfG,
FF

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