Das Kalenderblatt 110708

07/07/2011 - 09:55 von WM | Report spam
Sehr geehrter Herr Kollege,
nachdem ich am Wochenende Ihre Kalenderblàtter eingehend studiert
habe, möchte ich mich auf diesem Weg an Sie wenden. [...]
Ihre Argumente halte ich für begründet und stichhaltig. [...] Die Idee
Ihres Binàrbaums ist
interessant; ich werde das nochmals genau durchdenken, habe aber bis
jetzt keinen Fehler finden können.
=
Es ist auch keiner darin enthalten. Ein Fehler besteht lediglich in
der Behauptung, dass ein aktual unendlicher Pfad ohne endliche
Definition durch Knoten eindeutig identifizierbar wàre.

Der vollstàndige unendliche Binàre Baum besitzt abzàhlbar unendlich
viele Knoten:


K0
/ \
K1 K2
/ \
K3 K4 ...
...
... Kk

Definition: Zwei unendliche Pfade A und B sind verschieden. <==> Es
gibt zwei Knoten a und b so dass a in A und b in B und b nicht in A
und a nicht in B.

(Die Existenz des Knotens b ist eine Folge davon, dass a nicht in B
liegt und der Binàre Baum vollstàndig ist. Aber die symmetrische
Definition ist vorteilhaft.)

Satz: Im unendlichen Binàren Baum gibt es können höchstens abzàhlbar
viele verschiedene unendliche Pfade.

Beweis: Um den Pfad A von den Pfaden der Menge {B_1, B_2, B_3, ...,
B_n} der Pfade B_j zu unterscheiden, sind n Knoten erforderlich. Zwar
genügt ein einziger Knoten, a in A, der in keinem der Pfade B_1,
B_2, ..., B_n vorkommt, um A von der Menge {B_1, B_2, B_3, ..., B_n}
zu unterscheiden, jedoch ist damit noch nicht klar, dass die Pfade
B_1, B_2, B_3, ..., B_n voneinander verschieden sind, dass es sich
also überhaupt um n Pfade handelt. Um B_1 von B_2, B_3, ..., B_n zu
unterscheiden, ist ein Knoten b_1 erforderlich, der offenbar nicht
Knoten a sein darf. Um B_2 von B_3, ..., B_n zu unterscheiden, ist ein
Knoten b_2 erforderlich, der offenbar weder a noch b_1 sein darf.
Insgesamt werden also n Knoten a, b_1, b_2, ..,, b_(n-1) benötigt.
Übrig bleibt ein Pfad, z. B. Pfad B_n, der durch einen weiteren, von
allen bisher verwendeten verschienen Knoten b_n identifiziert wird.
Für die Unterscheidung von n Pfaden werden also n Knoten benötigt.

Im Binàren Baum existieren höchstens aleph_0 Knoten. Also können
höchsten aleph_0 Pfade mit Hilfe von Knoten voneinander unterschieden
werden. Alle darüber hinausgehenden Behauptungen sind nicht Gegenstand
der Mathematik.

Um eine leicht überschaubares Beispiel zu geben:

Ein Pfad wie P = 0,000... ist nicht durch Knoten von allen rationalen
Approximationen der Form

0,1000...
0,01000...
0,001000...
...

unterscheidbar (obwohl jede Apparoximation von P unterscheidbar ist).

Zuweilen hört man das "Argument", zur Unterscheidung eines unendlichen
Pfades P von allen übrigen Pfaden seien unendlich viele Knoten
erforderlich. Das ist schon deswegen falsch, weil man für jeden Knoten
von P per Induktion zeigen kann, dass er weder notwendig noch
hinreichend ist, um den Pfad P festzulegen.

Lassen wir aber das Argument einmal gelten, dann ergibt sich doch
unmittelbar die nàchste Frage: Wenn zur Definition eines Pfades
unendlich viele Knoten erforderlich sind, wieviele Knoten sind dann
zur Definition von überabzàhlbar vielen Pfaden erforderlich?

Und nein, es ist nicht möglich mit n Knoten mehr als n Pfade zu
unterscheiden, im Gegensatz zu der oftmals unbedacht angewandten
Analogie, dass mit 3 Elementen 7 verschiedene nichtleere Mengen
gebildet werden können. Denn zwei Pfade, die ein und denselben Knoten
enthalten, sind in ihrem Anfangsabschnitt bis zu diesem Knoten
identisch. Das ist die entscheidende Besonderheit des Binàren Baums.

Gruß, WM
 

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#1 karl
07/07/2011 - 10:12 | Warnen spam
Am 07.07.2011 09:55, schrieb WM:

Satz: Im unendlichen Binàren Baum gibt es können höchstens abzàhlbar
viele verschiedene unendliche Pfade.




Das ist kein Satz, sondern einfach Mist.
Zuerst Denken, dann Schreiben !

Ciao
Karl

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