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Das Kalenderblatt 110716

15/07/2011 - 07:59 von WM | Report spam
Natürlich kann bei der Ablehnung, die solche Anschauungen
{{unendlichkleine Zahlen}} bei den Mathematikern, und zwar schon bei
Cantor [...] gefunden haben, nicht von einem dogmatischen Standpunkt
die Rede sein. Polizeiliche Denkverbote gibt es im Reiche der
Mathematik nicht und wissenschaftliche Vorurteile können sich in ihm
nicht lange aufrecht erhalten {{aber auf 30 oder 100 Jahre kann es
schon 'mal hinauslaufen}}, wie dies von niemandem lebhafter betont
worden ist als gerade von Cantor selbst, der die Mühsale des Kampfes
gegen derartige Vorurteile nur allzudeutlich selbst empfunden hat.
Auch der Einwand, daß eine Begriffsbildung der oben bezeichneten Art
in sich widerspruchsvoll sei, m. a. W., daß über der
Korrelationsbetrachtung (Unendlichgroßes : 1 = 1 : x) die
Existenzfrage (gibt es überhaupt solch ein x ?) vernachlàssigt bzw.
durch eine petitio principii umgangen werde, wàre zunàchst nicht ganz
stichhaltig. Denn die bloße "Setzung“ eines Begriffs, mit der sich die
philosophische Betrachtung zuweilen begnügt, wird an sich selten und
gewiß nicht in diesem Falle zu Widersprüchen führen; vielmehr muß man
sich auf solche in der Regel erst dann gefaßt machen, wenn man mit den
gesetzten Begriffen etwas anfangen will - das bedeutet aber für Zahlen
vornehmlich: wenn man mit ihnen zu rechnen und sie weiterhin auf
wissenschaftliche Probleme anzuwenden unternimmt.
In diesen beiden Beziehungen versagt aber das aktual Unendlichkleine,
zum mindesten in seinen bisher vorgeschlagenen Formen, und deshalb
führt es in der Mathematik eine höchst kümmerliche Existenz, die in
keiner Weise der des Unendlichgroßen in der Mengenlehre vergleichbar
ist. Man muß daher sagen: dem potentiellen, in Wirklichkeit auf
Endliches reduzierbaren Unendlichkleinen der Analysis ist ein aktual
Unendlichkleines nicht zur Seite getreten.
Daß unendlichkleine Zahlen, wenn sie im obigen Sinn als reziproke
Werte der unendlichen Kardinalzahlen eingeführt werden sollen,
jedenfalls kein vernünftiges Rechnen gestatten, erhellt aus dem, was
gegen Ende des vorigen Paragraphen über die Umkehrung der
Multiplikation der Kardinalzahlen gesagt worden ist; der Versuch
scheitert daran, daß keine eindeutige Division möglich ist, wie es aus
dem entsprechenden Grund auch keinen Sinn hàtte, "negative“ unendliche
Kardinalzahlen einzuführen. [...]
Wenn man demgemàß versuchen wird, durch geeignete Festsetzungen die
erste Bedingung, die Möglichkeit des Rechnens, zu sichern, so wird
doch das zweite erstrebte Ziel, die Fruchtbarkeit und
Anwendungsfàhigkeit der unendlichkleinen Zahlen, vollends verfehlt
oder mindestens ganz ungenügend erreicht. [...] scheinen doch die
Methoden dieses grundlegenden Zweiges der Mathematik die Verwendung
des Unendlichkleinen geradezu zu fordern, wie das schon der Name
andeutet. Bei dieser Probe hat aber das Unendlichkleine restlos
versagt. Die bisher in Betracht gezogenen und teilweise sorgfàltig
begründeten Arten unendlichkleiner Größen haben sich zur Bewàltigung
auch nur der einfachsten und grundlegendsten Probleme der
Infinitesimairechnung (etwa zum Beweis des Mittelwertsatzes der
Differentialrechnung oder zur Definition des bestimmten Integrals) als
völlig unbrauchbar erwiesen. Sie mußten der bisherigen
(verhàltnismàßig umstàndlichen) Begründungsmethode mittels des
Grenzwertbegriffs das Feld ungeschmàlert belassen; es besteht auch
kein Grund zu der Erwartung, daß sich hierin künftig etwas àndern
werde. Gewiß wàre es an sich denkbar (wenn auch aus guten Gründen
àußerst unwahrscheinlich und jedenfalls beim heutigen Stand der
Wissenschaft in ungreifbarer Ferne liegend), daß ein zweiter Cantor
dereinst eine einwandfreie arithmetische Begründung neuer
unendlichkleiner Zahlen gàbe.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer,
Berlin (1928) p. 115ff]

Fraenkel kannte den Binàren Baum noch nicht, sonst hàtte er sich
leicht überlegen können, dass ein unendlicher Pfad nur 1/2^alep_0
Teile der Einheit ausmacht, wenn sich im Einheitsintervall 2^aleph_0
Pfade finden lassen. Das hat sich allerdings inzwischen als unmöglich
herausgestellt, denn eine unendliche Folge ohne endliches
Bildungsgesetz kann nicht kommuniziert werden und deswegen auch nicht
als eine Zahldefinition dienen. Und dasselbe gilt natürlich auch für
die unnatürlichen hyperreal numbers (was man wohl besser mit
"hyporeale Zahl" übersetzt): ES gibt nicht überabzàhlbar viele. - So
gesehen hat Fraenkel doch Recht.

Gruß, WM
 

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#1 wernertrp
15/07/2011 - 10:42 | Warnen spam
On 15 Jul., 07:59, WM wrote:
Natürlich kann bei der Ablehnung, die solche Anschauungen
{{unendlichkleine Zahlen}} bei den Mathematikern, und zwar schon bei
Cantor [...] gefunden haben, nicht von einem dogmatischen Standpunkt
die Rede sein. Polizeiliche Denkverbote gibt es im Reiche der
Mathematik nicht und wissenschaftliche Vorurteile können sich in ihm
nicht lange aufrecht erhalten {{aber auf 30 oder 100 Jahre kann es
schon 'mal hinauslaufen}}, wie dies von niemandem lebhafter betont
worden ist als gerade von Cantor selbst, der die Mühsale des Kampfes
gegen derartige Vorurteile nur allzudeutlich selbst empfunden hat.
Auch der Einwand, daß eine Begriffsbildung der oben bezeichneten Art
in sich widerspruchsvoll sei, m. a. W., daß über der
Korrelationsbetrachtung (Unendlichgroßes : 1 = 1 : x) die
Existenzfrage (gibt es überhaupt solch ein x ?) vernachlàssigt bzw.
durch eine petitio principii umgangen werde, wàre zunàchst nicht ganz
stichhaltig. Denn die bloße "Setzung“ eines Begriffs, mit der sich die
philosophische Betrachtung zuweilen begnügt, wird an sich selten und
gewiß nicht in diesem Falle zu Widersprüchen führen; vielmehr muß man
sich auf solche in der Regel erst dann gefaßt machen, wenn man mit den
gesetzten Begriffen etwas anfangen will - das bedeutet aber für Zahlen
vornehmlich: wenn man mit ihnen zu rechnen und sie weiterhin auf
wissenschaftliche Probleme anzuwenden unternimmt.
In diesen beiden Beziehungen versagt aber das aktual Unendlichkleine,
zum mindesten in seinen bisher vorgeschlagenen Formen, und deshalb
führt es in der Mathematik eine höchst kümmerliche Existenz, die in
keiner Weise der des Unendlichgroßen in der Mengenlehre vergleichbar
ist. Man muß daher sagen: dem potentiellen, in Wirklichkeit auf
Endliches reduzierbaren Unendlichkleinen der Analysis ist ein aktual
Unendlichkleines nicht zur Seite getreten.
Daß unendlichkleine Zahlen, wenn sie im obigen Sinn als reziproke
Werte der unendlichen Kardinalzahlen eingeführt werden sollen,
jedenfalls kein vernünftiges Rechnen gestatten, erhellt aus dem, was
gegen Ende des vorigen Paragraphen über die Umkehrung der
Multiplikation der Kardinalzahlen gesagt worden ist; der Versuch
scheitert daran, daß keine eindeutige Division möglich ist, wie es aus
dem entsprechenden Grund auch keinen Sinn hàtte, "negative“ unendliche
Kardinalzahlen einzuführen. [...]
  Wenn man demgemàß versuchen wird, durch geeignete Festsetzungen die
erste Bedingung, die Möglichkeit des Rechnens, zu sichern, so wird
doch das zweite erstrebte Ziel, die Fruchtbarkeit und
Anwendungsfàhigkeit der unendlichkleinen Zahlen, vollends verfehlt
oder mindestens ganz ungenügend erreicht. [...] scheinen doch die
Methoden dieses grundlegenden Zweiges der Mathematik die Verwendung
des Unendlichkleinen geradezu zu fordern, wie das schon der Name
andeutet. Bei dieser Probe hat aber das Unendlichkleine restlos
versagt. Die bisher in Betracht gezogenen und teilweise sorgfàltig
begründeten Arten unendlichkleiner Größen haben sich zur Bewàltigung
auch nur der einfachsten und grundlegendsten Probleme der
Infinitesimairechnung (etwa zum Beweis des Mittelwertsatzes der
Differentialrechnung oder zur Definition des bestimmten Integrals) als
völlig unbrauchbar erwiesen. Sie mußten der bisherigen
(verhàltnismàßig umstàndlichen) Begründungsmethode mittels des
Grenzwertbegriffs das Feld ungeschmàlert belassen; es besteht auch
kein Grund zu der Erwartung, daß sich hierin künftig etwas àndern
werde. Gewiß wàre es an sich denkbar (wenn auch aus guten Gründen
àußerst unwahrscheinlich und jedenfalls beim heutigen Stand der
Wissenschaft in ungreifbarer Ferne liegend), daß ein zweiter Cantor
dereinst eine einwandfreie arithmetische Begründung neuer
unendlichkleiner Zahlen gàbe.
[Adolf Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre" 3. Aufl., Springer,
Berlin (1928) p. 115ff]

Fraenkel kannte den Binàren Baum noch nicht, sonst hàtte er sich
leicht überlegen können, dass ein unendlicher Pfad nur 1/2^alep_0
Teile der Einheit ausmacht, wenn sich im Einheitsintervall 2^aleph_0
Pfade finden lassen. Das hat sich allerdings inzwischen als unmöglich
herausgestellt, denn eine unendliche Folge ohne endliches
Bildungsgesetz kann nicht kommuniziert werden und deswegen auch nicht
als eine Zahldefinition dienen. Und dasselbe gilt natürlich auch für
die unnatürlichen hyperreal numbers (was man wohl besser mit
"hyporeale Zahl" übersetzt): ES gibt nicht überabzàhlbar viele. - So
gesehen hat Fraenkel doch Recht.

Gruß, WM



Eigentlich müßten Leute denen Unendlich noch zu klein ist eingesperrt
werden,
wenn nicht in ein Gefàngnis so doch zumindest in eine Irrenanstalt.

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