Das Kalenderblatt 110718

17/07/2011 - 09:10 von WM | Report spam
Daher kann ich auch in Ihrer zweiten These nicht zugeben, dass jede
geschöpfliche Grösse und überhaupt jede geschöpfliche Vollkommenheit
in sich selber ein actu finitum sein müßte.
Der Verstoß gegen das Widerspruchsprincip, welchen Sie anführen, ist,
wie ich mit den einleuchtendsten Gründen beweisen könnte, nur ein
scheinbarer, und liegt in der Hauptsache an der Mangelhaftigkeit der
von Aristoteles (oder von noch àlteren Philosophen) herrührenden
Definition des Unendlichen die entweder nur auf das potenziale
Unendliche oder nur auf das absolut Vollkommene in Gott passen, die
aber nicht auf dasjenige Unendliche genügend Rücksicht nehmen, welches
ich Transfinitum nenne, also auf das, "was zwar in sich constant und
grösser als jedes Endliche, aber doch noch unbeschrànkt vermehrbar und
insofern begrenzt" ist, obgleich ein derartiges Unendliches für unser
beschrànktes Erkennen durchaus in seiner Weise ebensogut /fassbar/
ist, wie in seiner Weise das Endliche. Alle sogenannten Beweise (und
es dürfte mir wohl keiner verborgen geblieben sein) gegen das
geschöpfliche A. U. beweisen nichts, weil sie sich nicht auf die
richtige Definition des Transfiniten beziehen. [...]
Was endlich die dritte These Ihres geschàtzten Schreibens betrifft,
so bin ich ganz auf Ihrer Seite, wenn Sie mit Nic. v. Cusa sagen, daß
„in Gott Alles Gott ist", wie auch, dass „die Erkenntnis Gottes
objectiver Seits das Incommensurable nicht als commensurabel, das
Irrationale nicht als rational {{doch das Unfertige als fertig}} zu
erkennen vermag, weil die göttliche Allerkenntnis, wie die göttliche
Allmacht nicht auf Unmögliches gehen kann."
[Cantor an Schmid, 26. 3. 1887]

Zur Auffassung des Grundgedankens der Lehre des Transfiniten bedarf es
keiner gelehrten Vorbildung in der neueren Mathematik; dieselbe kann
dazu sogar hinderlich sein, weil in der sogenannten
Infinitesimnalanalysis das potenziale Unendliche sich in den
Vordergrund gedràngt und selbst bei den Heroen die Meinung gezeitigt
hat, als beherrschtell sie mit ihren „Differentialen“ und"Integralen“
die Höhen des Wissens und Könnens. Strenggenommen ist aber überall das
potenz. Unendl. ohne ein zu Grunde liegendes A. U. (über das sich nur
die meisten jener Herren keine Rechenschaft geben mögen oder können)
undenkbar. Wenn Sie also etwa in diesen Kreisen auf "fachmànnisch"
competentes Urtheil zu der vorliegenden Frage zàhlen sollten, so
könnten Sie sich vielleicht getàuscht sehen; das alleinige Forum ist
hier die höchstgebietende Vernunft, welche kein Ansehen der
privilegirten, gelehrten, akademischen Zünfte anerkennt; /sie/ bleibt
und herrscht, wir Menschen kommen und gehen.
Die erste, einfachste und Jedem zugàngliche Thatsache, auf welche
sich die Theorie des Transfiniten stützt, ist die gleichzeitige
Unbegrenztheit und Insichbestimmtheit der Reihe aller endlichen
Cardinal-Zahlen 1, 2, 3, ..., nü, .., als constante Menge
wohlunterschiedener Dinge aufgefasst. Jede dieser Zahlen nü ist eine
bestimmte Species, ein Allgemeinbegriff (universale) unter dem alle
Mengen stehen, von denen man aussagen kann, ihre Zahl sei gleich nü.
Diese Zahlen haben unter einander eine bestimmte natürliche Ordnung,
wonach von jeder nü gesagt werden kann, dass sie eine ihr zunàchst
grössere in der Reihe, nàmlich (nü + 1), hat; sie bilden also mit
dieser Folge ein Beispiel von dem, was ich wohlgeordnete Mengen nenne.
Faßt man nur die Menge derenigen Zahlen dieser Reihe ins Auge, welche
=< nü sind, so gehört zu dieser Menge die Cardinalzahl nü; es ist also
die so abgegrenzte Menge stets eine endliche Menge. {{Hier war Cantor
noch nicht auf den Trick mit der Null verfallen.}}
Faßt man aber die Menge aller dieser endlichen Zahlen ins Auge, so
gehört zu dieser Menge keine der endlichen Cardinalzahlen, unter
welcher sie so stünde, daß man von ihr sagen könnte, ihre Zahl sei
gleich dieser Cardinalzahil; diese Thatsache wird, solange man keine
anderen Zahlenspecies hat, derart auszudrücken sein, daß man sagt: der
Menge aller endlichen Zahlen entspricht keine endliche Cardinalzahl,
oder, was zunàchst dasselbe heissen soll, diese Menge ist unendlich.
Das Thatsàchliche, uns hier Vorliegende ist also ein in sich
bestimmtes, nicht endliches Quantum von bestimmten Gedankendingen (1,
2, 3, . . .); diese Dinge sind nicht nur unter sich wohlgeschieden,
sondern auch begriflich getrennt von allen anderen Dingen; in diesem
Sinne ist ihre Menge, obgleich nichtendlich, dennoch durchaus
begrenzt.
Wer von vornherein für die „Begrenztheit“ einer Menge verlangt, dass
sie ein erstes, ein darauf folgendes, ein diesem wieder folgendes
Glied u. s. f. besitze und daß auch schließlich ein auf diesem Wege
erreichbares letztes Glied vorhanden sei, der legt höchst willkürlich
diesem Begriffe Schranken auf [...]
[Cantor an Schmid, 18.(?) 4. 1887]

Hier hat Cantor leider übersehen, dass zwischen "jede" und "alle" ein
Unterschied besteht. Zu jeder gezàhlten natürlichen Zahl n existieren
mehr als n^n^n ungezàhlte natürliche Zahlen, so dass aus der Abzàhlung
einer jeden nicht auf die Abzàhlung aller geschlossen werden kann.
Cantor hat hier den Grenzwertbegriff missbraucht. Ein einfaches
Beispiel wird zur Verstàndigung der Verstàndigen genügen:

Die Folge 1/2^n làsst sich nicht abzàhlen. Zu jedem gezàhlten Glied
existieren unendlich viele weitere, nicht gezàhlte. Ein sinnvolle
Anwendung des Grenzwertbegriffs bei der Berechnung des Wertes der
Reihe erwàchst lediglich daraus, dass "der Rest", der Wert der Reihe
aller noch folgenden Glieder, beliebig klein wird.

Die Abzàhlung der rationalen Zahlen dagegen ist nicht möglich, denn
hier wird der Rest niemals beliebig klein, sondern bleibt immer
unendlich groß.

Gruß, WM
 

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#1 Jürgen R.
17/07/2011 - 10:32 | Warnen spam

Hier hat Cantor leider übersehen, dass zwischen "jede" und "alle" ein
Unterschied besteht.



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Zu jeder gezàhlten natürlichen Zahl n existieren
mehr als n^n^n ungezàhlte natürliche Zahlen, so dass aus der Abzàhlung
einer jeden nicht auf die Abzàhlung aller geschlossen werden kann.



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Cantor hat hier den Grenzwertbegriff missbraucht.



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Ein einfaches
Beispiel wird zur Verstàndigung der Verstàndigen genügen:



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Die Folge 1/2^n làsst sich nicht abzàhlen. Zu jedem gezàhlten Glied
existieren unendlich viele weitere, nicht gezàhlte. Ein sinnvolle
Anwendung des Grenzwertbegriffs bei der Berechnung des Wertes der
Reihe erwàchst lediglich daraus, dass "der Rest", der Wert der Reihe
aller noch folgenden Glieder, beliebig klein wird.

Die Abzàhlung der rationalen Zahlen dagegen ist nicht möglich, denn
hier wird der Rest niemals beliebig klein, sondern bleibt immer
unendlich groß.



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