Das Kalenderblatt 110722

21/07/2011 - 08:39 von WM | Report spam
Da die "Menge aller Dinge" auch mathematisch nicht-definierbare
Objekte enthàlt, braucht ihre Paradoxie den Mathematiker nicht
sonderlich zu beunruhigen. Leider gibt es aber auch rein-mathematisch
definierte Mengen, die in sich widerspruchsvoll sind.

Es ist nicht möglich, ein Element m hinter die Menge W zu ordnen, d.
h. die Vereinigungsmenge (W+m) so zu ordnen, daß m auf alle Elemente
von W folgt. Auch den Sinn dieser Behauptung
vermag ich nicht zu verstehen.

Es ist nicht möglich, die Vereinigungsmenge (W+m) zu bilden. Diese
Behauptung ist direkt
falsch, wenn nicht etwa W mit den Menge identisch ist, die doch alle
Dinge, nicht nur Ordnungszahlen enthàlt.

Aus der Tatsache allein, daß m hinter Umgeordnet werden und dadurch zu
einem Widerspruch Anlaß geben könnte, làßt sich auf die Nichtexistenz
von (W+m) nur durch folgenden Zirkel schließen: "(W+m) enthàlt einen
Widerspruch. Er rührt davon her, daß diese Menge nicht gebildet werden
darf. Sie darf aber darum nicht gebildet werden, weil sie einen
Widerspruch enthàlt."

Übrigens wird durch das Verbot der Bildung von (W+m) nichts gewonnen.

Einer der interessantesten Versuche, die Existenz transfiniter Mengen
zu beweisen, ist der von Dedekind unternommene. [...] Angesichts der
Paradoxieen, die der Menge aller Dinge an-
haften, kann dieser Beweis heute nicht mehr aufrechterhalten werden.
Es wird ihm aber auch entgegengehalten, daß er gar nicht rein logisch,
sondern auf die durch innere Erfahrung ge-
wonnene Erkenntnis der Organisation unseres Verstandes, also auf
Psychologie gestützt ist. Es wàre in der Tat ein ebenso schlüssiges
Verfahren, die Menge ® selbst als Beweismittel anzu-
führen, oder, wie wir die Analysis zum Beweis der logischen
Möglichkeit nichteuklidischer Geometrieen heranziehen, die Menge aller
Punkte eines Halbstrahls als transfinite Menge aufzuzeigen.

Ein Irrtum aber wàre es, das Fehlen des rein logischen Charakters als
Grund gegen die Zulàssigkeit des Beweises anzufahren. Aus reiner Logik
Mathematik zu machen, ist bis heute nicht gelungen. Daß es gelingen
muß, ist eine unbewiesene Annahme, in den Augen des Kantianers sogar
eine falsche.

Der mathematische Logizismus mag bestrebt sein, über diesen Standpunkt
hinauszukommen; daß wir es heute nicht können, erfahren wir immer von
neuem, und den Philosophen setzt das nicht in Erstaunen.

Und ist es {{nàmlich das Pràdikat "impàdikabel"}} impràdikabel, so ist
es damit von sich selbst ausgesagt, also pràdikabel.

In dieser rein logischen Form ist das Paradoxon von
Unendlichkeitsfragen frei, wenigstens formal. Man möge danach den Wert
der Behauptung beurteilen, die Mathematik verdanke ihre Sicherheit
lediglich der Logik.

[Gerhard Hessenberg: "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus
den "Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft,
Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906); vgl. auch KB110617]

Gruß, WM
 

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#1 Vogel
23/07/2011 - 15:25 | Warnen spam
WM wrote in news:d9e2fc3b-f9f3-4f25-bd72-
:


Da die "Menge aller Dinge" auch mathematisch nicht-definierbare
Objekte enthàlt, ...



Das kann nicht sein. Die Objekte welche eine Menge enthàlt, müssen
mathematisch definiert sein, um von ihnen als zugehörig zu einer Menge
sprechen zu können.

Leider gibt es aber auch rein-mathematisch
definierte Mengen, die in sich widerspruchsvoll sind.



Du meinst wohl die bekannten Antinomieen (Menge aller Mengen usw.).

Es ist nicht möglich, ein Element m hinter die Menge W zu ordnen, d.
h. die Vereinigungsmenge (W+m) so zu ordnen, daß m auf alle Elemente
von W folgt.



Wer oder was sollte das verhindern oder verbieten?
Auf dem Tisch stehen n Glàser fest aneinander gereiht. Wer oder was
sollte verhindern eine Tasse an ein frei gewàhltes Ende der Glàserreihe
zu stellen?

Auch den Sinn dieser Behauptung vermag ich nicht zu
verstehen.



Welcher Behauptung? Der folgenden?

Es ist nicht möglich, die Vereinigungsmenge (W+m) zu bilden.



Wer oder was sollte das verhindern oder verbieten?
Ich kann immer ans Ende einer Reihe Äpfel noch eine Birne stellen.
Dann ist es eben eine Reihenfolge mit Obst. Das heisst die Menge (W+m)
kann nur dann vereinigt und geordnet werden, wenn man eine neue
Wohlordnung definiert. Das ist es auch schon was man unter Vereinigen
versteht.

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