Das Kalenderblatt 110724

23/07/2011 - 08:25 von WM | Report spam
Jedes ist nicht alles

Fraenkel erzàhlt Sternes Geschichte von Tristram Shandy (s. KB100610),
der sein Tagebuch so sorgfàltig führte, dass er zum Eintragen eines
Tages ein ganzes Jahre brauchte. Sein Unterfangen scheint
aussichtslos. Aber, schließt Fraenkel, würde er "unendlich lang leben,
so würde seine Biographie 'fertig'; es würde dann nàmlich, genauer
ausgedrückt, jeder noch so spàte Tag seines Lebens schließlich eine
Schilderung bekommen, weil das für diese Arbeit an die Reihe kommende
Jahr eben irgend einmal in seinem Leben erschiene.

Gibt es ein "schließlich", für das man aus "jedem Tag" auf "alle Tage"
schließen darf?

Cantor zàhlt die rationalen Zahlen ab. Eine Bijektion zwischen |N und |
Q liefert jeder rationalen Zahl eine natürliche als Partner.

Bedeutet das tatsàchlich, dass schließlich alle rationalen Zahlen
versorgt sind?

Cantor konstruiert auch noch seine Liste, die ihre Antidiagonalzahl
nicht enthàlt, weil sich erweist, dass sie in jeder Zeile fehlt.

Darf man hier aus "jeder Zeile" auf "alle Zeilen" schließen?

Die übliche Supertask ist genau so konstruiert. Wir zahlen zwei
Zahlen, 1 und 2, ein und lassen uns die Zahl 1 auszahlen. Dann zahlen
wir 3 und 4 ein und lassen uns die 2 auszahlen, usw. Mit der üblichen
Beschleunigung können nach genau einer Stund alle natürlichen Zahlen
eingezahlt und wieder ausgezahlt worden sein, denn von jeder Zahl
làsst sich ermittel, wann sie eingezahlt und wann sie ausgezahlt
wurde. {{So können uns die Griechen ihre Schulden bequem zurückzahlen,
selbst wenn wir in Ewigkeit immer wieder neue Rettungsschirme
aufspannen.}}

Doch auch hier stellt sich die Frage: Bedeutet jede Zahl dasselbe wie
alle Zahlen?

Das letzte Beispiel làsst sich mathematisch formulieren: Die
eingezahlten Zahlen werden links des Komma hingeschrieben, die
ausgezahlten rechts. {{Physiker kennen das von Kernreaktionen wie
N(n,p)C.}}

21
2.1
432.1
43.21
6543.21
654.321
87654.321
8765.4321
...

Diese natürlichen Zahlen benutzen wir als Indizes für Einsen und
Nullen in wechselnder Folge (gerade natürliche Zahlen indizieren
Einsen, ungerade Nullen).

10
1,0
101,0
10,10
1010,10
101,010
10101,010
1010,1010
...

Weitere Interpretationen sind überflüssig. Es ergibt sich mit
mathematischer Pràzision, dass die Folge divergiert oder den
uneigentlichen Grenzwert oo besitzt.

Auch nach den Regeln der transfiniten Mengenlehre làsst sich ein
Grenzwert jenseits aller endlichen Folgenglieder gewinnen. Allerdings
kann er 1 nicht übersteigen, weil jede 1 einen natürlichen Index
tràgt, der irgendwann, jedenfalls noch im Endlichen, rechts vom Komma
auftauch, also links verschwunden ist.

Hieraus folgt, dass im Unendlichen "jede" nicht dasselbe bedeutet wie
"alle". Die vermeintliche Identitàt von "jede, die ich benennen kann"
und "alle, so dass keine mehr übrig bleibt" (die in der Analysis
unendlicher Folgen und Reihen niemals benutzt wurde) bildet aber seit
130 Jahren das logische Fundament jeder transfiniten Mengenlehre.
Deshalb ist jede transfinite Mengenlehre falsch. Und weil es nur
endlich viele Mengenlehren gibt, dürfen wir daraus sogar schließen,
dass alle falsch sind.

Gruß, WM
 

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#1 Jürgen R.
23/07/2011 - 12:28 | Warnen spam
"WM" schrieb im Newsbeitrag
news:

Jedes ist nicht alles

N(n,p)C.}}

21
2.1
432.1
43.21
6543.21
654.321
87654.321
8765.4321
...


10
1,0
101,0
10,10
1010,10
101,010
10101,010
1010,1010
...


Quack, Quack, WM



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