Das Kalenderblatt 110725

24/07/2011 - 08:17 von WM | Report spam
Was die transfiniten Methoden des tertium non datur, des Gebrauchs von
„alle“ und „es gibt“ usw. angeht, so werden wir sehen, daß über-
raschenderweise gerade die anscheinend schàrfsten Gegner des
Intuitionismus, nàmlich die formalistische Schule Hilberts, den
methodischen Zweifel Brouwers ihrerseits aufnehmen. Ganz entsprechend
zeigt nun gerade eine neue und ganz besonders weittragende
formalistische Veröffentlichung (von Neumann [Zur Hilberttschen
Beweistheorie, Math. Zeitschr., Bd. 26, S. 1-46. 1927], vgl. auch
Hilbert [Die Grundlagen der Mathematik. (Mit Diskussionsbemerkungen
von H. Weyl und einem Zusatz von P. Bernays.) Abh. aus d. Math. Sem.
d. Hamb. Univ., Bd. 6, S. 65-92. 1928] und namentlich Weyls
Bemerkungen dazu), daß auch hinsichtlich der Anerkennung der
Zahlenreihe kaum mehr ein merklicher Unterschied zwischen beiden
Richtungen besteht. Wie immer man also auf Grund der in den nàchsten
Paragraphen erörterten Systeme sich auch zu den Schlußfolgerungen des
Intuitionismus stellen mag, jedenfalls wird die hohe grundsàtzliche
und spezifisch mathematische Bedeutung vieler seiner Ausgangspunkte
heute nicht mehr bestritten werden können.

[A. Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1928)
p. 244]

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
24/07/2011 - 11:32 | Warnen spam
Am 24.07.2011 08:17, schrieb WM:

Was die transfiniten Methoden des tertium non datur, des Gebrauchs von
„alle“ und „es gibt“ usw. angeht, so werden wir sehen, daß über-
raschenderweise gerade die anscheinend schàrfsten Gegner des
Intuitionismus, nàmlich die formalistische Schule Hilberts, den
methodischen Zweifel Brouwers ihrerseits aufnehmen. Ganz entsprechend
zeigt nun gerade eine neue und ganz besonders weittragende
formalistische Veröffentlichung (von Neumann [Zur Hilberttschen
Beweistheorie, Math. Zeitschr., Bd. 26, S. 1-46. 1927], vgl. auch
Hilbert [Die Grundlagen der Mathematik. (Mit Diskussionsbemerkungen
von H. Weyl und einem Zusatz von P. Bernays.) Abh. aus d. Math. Sem.
d. Hamb. Univ., Bd. 6, S. 65-92. 1928] und namentlich Weyls
Bemerkungen dazu), daß auch hinsichtlich der Anerkennung der
Zahlenreihe kaum mehr ein merklicher Unterschied zwischen beiden
Richtungen besteht. Wie immer man also auf Grund der in den nàchsten
Paragraphen erörterten Systeme sich auch zu den Schlußfolgerungen des
Intuitionismus stellen mag, jedenfalls wird die hohe grundsàtzliche
und spezifisch mathematische Bedeutung vieler seiner Ausgangspunkte
heute nicht mehr bestritten werden können.

[A. Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1928)
p. 244]

Gruß, WM



Vielleicht sollte auch mal Wolfgang Stegmüller zu Wort kommen, der in seinem
Aufsatz "Das Universalienproblem einst und jetzt" interessante Ausführungen
gemacht hat. Ich bringe hier mal seine Zusammenfassung, insbesondere Punkt 9
steht in krassem Widerspruch zu Fraenkels falschem Nivellierungsversuch:

"1. Den Ausgangspunkt bildete die Frage, ob es Irgendwelche linguistische
Faktoren gibt, in deren Verwendung eine explizite Voraussetzung- von der Art
der Universalien seitens des Sprachbenutzers zutage tritt.

2. Die Antwort lautete: ja. Bei dem Schluß von der Sprache auf die Ontologie
darf man sich jedoch weder auf Namen oder namens-àhnliche Ausdrücke noch auf
Pràdikate stützen. Ob jemand Platonist ist oder Nominalist, hàngt nicht davon
ab, was für Individuenpràdikate er verwendet, sondern davon, was er als Werte
für seine gebundenen Variablen zulàßt.

3. Wer abstrakte Gegenstandsvariable (Klassen-, Pràdikat-, Zahl-,
Funktionsvariable usw.) verwendet, ist Platonist; wer auf solche Variable
verzichtet, ist Nominalist. Diese beiden Standpunkte bilden eine vollstàndige
Disjunktion. Stets ist der Platonisnius das reichere System gegenüber dem
Nominalismus.

4. Der vermeintliche Gegensatz zwischen der These 'universalia in rebus' und
universalia ante res" innerhalb des Platonismus erweist sich als fiktiv,

5. Die nominalistische Grundthese lautet: Alles, was in einem platonistischen
System gesagt werden kann, das kann auch in einem nominalistischen gesagt
werden: der Platonismus ist eine bloße façon de parler. Diese These konnte
bis heute nicht bewiesen werden und es bestehen kaum Aussichten dafür, daß
sie in dieser allgemeinen Form je bewiesen werden könnte. Nur für eine
begrenzte Gesamtheit platonistischer Kontexte gelang es, sie in eine
nominalistische Sprache umzuformulieren.

6. Das Problem des Platonismus besteht in der Frage, ob es nichtkonkrete
Gegenstànde gibt. Dieses Problem hat nichts mit der Frage der
Allgemeinerkenntnis zu tun. Auch der Nominalist kann generelle Pràdikate
verwenden und generelle wahre Aussagen formulieren (vorausgesetzt, daß er sein
'alle' und 'es gibt' nur auf Konkretes bezieht). Es ist daher verfehlt, den
Gegensatz 'Nominalismus - Platonisnius' in das Schema 'Einzelerkenntnis -
Allgemeinerkenntnis' hineinzuzwàngen.

7. Der sog. Konzeptualismus ist in zwei Formen denkbar: als psychologischer
und als konstruktiver. Der psychologische Konzeptualimus ist zum Scheitern
verurteilt. Der konstruktive Konzeptualismus dagegen tritt gerade heute ganz
in den Vordergrund: er ist jedoch eine Abart des Platonismus. Ihm steht der
Platonismus im. strengen Sinn gegenüber, der jedoch zu Widersprüchen führt.
Der konstruktive Konzeptualimus vermeidet diese Widersprüche durch Verzicht
auf impràdikative Begriffsbildungen,

8. Die drei Begriffe Nominalismus - Konzeptualimus - Platonismus finden
genaue quantitative Entsprechungen in den drei Begriffen: endliche Gesamtheit
- abzàhlbar unendliche Gesamtheit - über- [>118] abzàhlbar unendliche
Gesamtheiten. Der konstruktive Konzeptualimus anerkennt die Unendlichkeit, er
muß jedoch die Vorstellung einer absolut überabzàhlbaren Unendlichkeit (ebenso
wie die einer abgeschlossenen abzàhlbaren Unendlichkeit) als sinnlos
Verwerfen. Der Nominalist verwirft bereits den Begriff der Unendlichkeit als
solchen.

9. Nominalismus und strenger Platonismus sind beide mit einer Krankheit
behaftet. Der strenge Platonismus leidet an der Antinomienkrankheit und diese
ist tödlich. Der Nominalismus tràgt zwar keinen tödlichen Krankheitskeim in
sich, aber er leidet an Schwàche. Sofern er nicht in der Zukunft eine
Injektion mit einem Kràftigungsmittel erhalten sollte, das seine
Leistungsfàhigkeit in ungeahntem Maße steigert, wird er auch gegen die
schwàchste Form eines konstruktiven Konzeptualismus stets den Kürzeren ziehen."

Sekundàrquelle, Bibliographie und etwas mehr Einbettung:
http://www.sgipt.org/wisms/gb/gleic...INST%20UND

Rudolf Sponsel, Erlangen

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