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Das Kalenderblatt 110731

30/07/2011 - 14:58 von WM | Report spam
Die Geschichte des aktual Unendlichen ist damit zu Ende - sie sollte
es jedenfalls sein - nicht jedoch die des potentiell Unendlichen. Eine
beliebig lange Folge von Rechenoperationen ist im Prinzip
realisierbar, wenn im Bedarfsfall vorhergehende Ergebnisse
zusammengefasst werden, um Speicherplatz frei zu machen.

Aufgrund des regelmàßigen Aufbaues bestimmter natürlicher Zahlen wie

M = 10^10^10^10

und mit der Möglichkeit, solche Zahlen wiederum durch noch
pràgnantere, noch weniger Speicherplatz benötigende Abkürzungen zu
bezeichnen, sind die natürlichen Zahlen ihrer Größe nach nicht
beschrànkt. Zwar können wir schon relativ kleine Zahlen nicht mehr
darstellen, z. B. eine regellos aufgebaute natürliche Zahl mit mehr
als Z bit Informationsinhalt, trotzdem besteht die Möglichkeit, eine
einfach darstellbare, weitaus größere Zahl mit verschwindend wenig
Information zu speichern und anzugeben, z. B. die oben unter
verschwenderischer Verwendung von ca. 10^16 Atomen gedruckte Zahl M,
die nach einer kurzen allgemeinen Definition mit 8 bit oder noch
weniger codiert werden könnte. Das Googolplex und GAUSSens messbare
Unendlichkeit (S. 7) sind reale Zahlen. Wir kennen ihre Eigenschaften
und können sie eindeutig identifizieren, die messbare Unendlichkeit am
einfachsten im Neunersystem. Mit den Kehrwerten der großen Zahlen
können wir auch zu beliebig kleinen Zahlen gelangen.

CANTORs unendliche Menge endlicher Zahlen enthàlt einen
Selbstwiderspruch. Das genaue Gegenteil ist richtig. Die Menge der im
Universum reali¬sierbaren natürlichen Zahlen ist endlich, weil maximal
Z Ziffern zur Verfügung stehen, aber ihre Elemente können beliebig
groß werden - beschrànkt lediglich durch Mangel an Erfindungsreichtum
oder Interesse; eine prinzipielle Schranke für die Darstellung großer
Zahlen mit endlichem Speicherplatz ist nicht erkennbar. Deswegen
liefern die natürlichen Zahlen bezüglich ihrer Größe - neben der
Ewigkeit und der grenzenlosen Expansion des Universums - das
klassische Beispiel für potentielle Unendlichkeit.

Sie ist kein Heiligtum, kein "ganz besonderer Zustand, in dem andere
Gesetze gelten", wie romantische Rechenkünstler raunen. Das Unendliche
ist jedem profanen Interessenten zugànglich. Wir betreten es schon,
wenn wir nur 1, 2, 3, ... zu zàhlen beginnen. Aber es geht uns nicht
wie Goldmarie, die im Màrchen von Frau Holle in einen Brunnen fàllt
und sich in einem zauberhaften Land mit sprechenden Bàumen und
Backöfen wiederfindet. Wir können zàhlen und zàhlen, wir gelangen zu
größeren und größeren Zahlen, einige müssen wir wohl überspringen,
doch weiter ereignet sich in diesem Prozess nichts. Um ihn sinnvoll zu
bezeichnen, genügt das von Wallis eingeführte Symbol oo.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 H. Vetinari
31/07/2011 - 00:07 | Warnen spam
WM wrote:
Die Menge der im Universum realisierbaren natürlichen Zahlen ist endlich,
[...], aber ihre Elemente können beliebig groß werden



Ja Wahnsinn, eine endliche unbeschrànkte Teilmenge von |N.
Ein Jammer, dass du zu alt für die Fields-Medaille bist.

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