Das Kalenderblatt 110913

12/09/2011 - 13:39 von WM | Report spam
Eine Tasse als Menge zu betrachten, scheint in gewissen
matheologischen Kreisen ebenso anstößig zu sein wie die Betrachtung
der Armut als einer christlichen Tugend in gewissen theologischen
Kreisen. "Everything is a set" bedeutet demnach nicht, dass jedes Ding
eine Menge sei.

So belehrte ein Herr Fritsche seinen Leser: "Diese Aussage bezieht
sich auf das /Universum/ der Mengenlehre, trifft also eine Aussage
über dieses Universum, nicht über 'jedes Ding' in unserer
(Lebens-)Welt. Du scheinst überhaupt nicht zu begreifen, wovon
Mathematiker reden bzw. was sie sagen _wollen_, wenn sie etwas
Bestimmtes sagen. Der Mond z. B. ist nach üblicher Auffassung KEINE
Menge; und wenn ein Mathematiker, der sich mit ZFC beschàftigt,
beilàufig erwàhnt: Everything is a set (in ZFC), dann will er damit
GANZ SICHER nicht sagen/behaupten, dass auch der Mond eine Menge (in
ZFC) ist. [...] In WMs Welt mag eine Tasse eine Menge sein..., in der
gewöhnlichen Welt ist sie das - meines Wissens - nicht."

Tja, seines Wissens. - In der Mengenlehre (in ZFC gibt es sowieso
keine Menge aller Mengen, der eine Tasse oder eine anderes Ding
angehören könnte) werden selbstverstàndlich Dinge zu Mengen vereinigt,
denn die Mengenlehre sollte - ursprünglich wenigstens - einen gewissen
Wirklichkeitsbezug aufweisen; sie wurde nicht von vornherein als
absurdes Theater entworfen.

Wir entwickeln die Grundbegriffe zunàchst an den endlichen Mengen.
Denken wir uns als ganz konkretes Beispiel etwa einen Korb Apfel und
einen Korb Birnen. Um zu prüfen, ob beide gleichviel Stücke enthalten,
können wir so verfahren: [Gerhard Hessenberg: "Grundbegriffe der
Mengenlehre", Sonderdruck aus den "Abhandlungen der Fries'schen
Schule", I. Band, 4. Heft, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen (1906)
Vorwort und § 11f]

Die Frage, ob es prinzipiell zulàssig ist, eine Menge von unendlich
vielen Dingen als ein abgeschlossenes Ganze zu betrachten, berührt die
Zulàssigkeit unsrer Definition der Äquivalenz nicht. [a.a.O. § 12]

Zwei Mengen heißen identisch, wenn jedes Ding der einen auch ein Ding
der andern ist und umgekehrt. [a.a.O. § 12]

Die Zuordnung eines Dinges zu sich selbst ist umkehrbar eindeutig.
[a.a.O. § 12]

Wir fassen nun die Menge aller denkbaren Bücher ins Auge. [A.
Fraenkel: "Einleitung in die Mengenlehre", Springer, Berlin (1928) p.
6]

Sowohl die Annahme einer nur endlichen (wenn auch unbegrenzten)
Ausdehnung des Weltalls wie auch die Überzeugung von der nur
begrenzten Teilbarkeit der Materie und Energie, also von ihrer
Zusammensetzung aus nur endlichvielen kleinsten Teilen (Atomen bzw.
Elektronen und Energiequanten) steht in bestem Einklang mit unseren
Erfahrungen. Die Außenwelt scheint uns also nur endliche Mengen
darzubieten. {{Immerhin scheint sie uns Mengen darzubieten.}} [a.a.O.
p. 6f]

Man kann übrigens, wenn man Wert darauf legt, auch auf eine im engeren
Sinn anschauliche Art zu einer unendlichen Menge gelangen [...]: etwa
durch zweckmàßige Aufstellung einiger Spiegel derart, daß in einem
unter ihnen ("Ausgangsspiegel“) neben anderen gespiegelten
Gegenstànden auch das eigene Bild des Ausgangsspiegels erscheint, in
diesem Bild also wieder dessen Bild usw.; die Gesamtheit der im
Ausgangsspiegel sichtbaren Spiegel bildet dann, streng genommen {{!}},
eine unendliche Menge. [a.a.O. p. 9]

Wenn es zu jeder Menge von Dingen noch ein weiteres, von ihnen allen
verschiedenes Ding gibt, so ist die Gesamtheit aller Dinge offenbar
selbst keine Menge.
[F. Hausdorff: "Grundzüge der Mengenlehre", Chelsea Publishing
Company, New York (1965) p. 2]

Bei jeder endlichen Menge von Dingen, wie groß dieselbe auch sein mag,
bietet sich sofort die Möglichkeit des objektiven Zàhlens dar (wenn
die Menge etwa tausendmalmillionen Gegenstànde umfaßt [...]) [E.
Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und
philosophischen Inhalts", Springer (1932) p. 392]

Zwei bestimmte Mengen M und M1 nennen wir àquivalent [...] Beispiele:
a) Die Menge der Regenbogenfarben (Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau,
Indogo, Violett,) und die Menge der Tonstufen (C, D, E, F, G, A, H)
sind àquivalente Mengen und stehen beide unter dem Allgemeinbegriff
Sieben. b) Die Menge der Finger meiner beiden Hànde und die Menge der
Punkte in dem sog. arithmetischen Dreieck sind àquivalent; ihnen kommt
die Kardinalzahl Zehn zu. [a.a.O. p. 412]

Beispiele endlicher Mengen sind etwa die Menge der Erbsen in einer
Tüte, die Menge der Einwohner einer Stadt oder die Menge der
Wasserstoffatome in der Sonne. {{Im Mond aber nicht. Das gehört also
zum Themenkreis dieses Buches:}} [W. Dieck: "Die Paradoxien der
Mengenlehre", Annalen der Philosophie und philosophischen Kritik 5.1
(Dez. 1925) p. 44f]

Gruß, WM
 

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#1 Franz Fritsche
12/09/2011 - 23:25 | Warnen spam
Am Mon, 12 Sep 2011 04:39:45 -0700 (PDT) schrieb WM:

So belehrte ein Herr Fritsche seinen Leser: ...



Nö, nicht "seinen Leser" (im allgemeinen), sondern DICH (speziell); aber
Du bist offenbar zu wirr im Kopf, um das hier von Dir Zitierte (auch aus
anderen Quellen) verstehen zu können.

MfG,
FF

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