Das Kalenderblatt 110914

13/09/2011 - 11:23 von WM | Report spam
Das einfach verstàndliche und unschuldig wirkende Sàtzchen "Die Tasse
gehört zur Menge aller Mengen" zog gleich von zwei Seiten ein
Ungewitter auf sich; zum einen wegen der Entweihung des hehren
Begriffs "Menge" durch eine profane Tasse.

Ein Herr Bader meinte, dass einige von mir anonym dazu zitierten
Autoren sich wünschen sollten, nicht erkannt zu werden (es handelte
sich um Cantor, Fraenkel und Hessenberg, s. KB110913), und meldete
Zweifel an der Mengenhaftigkeit der Tasse an: "...dann müßte man zum
Nachweis der Mengeneigenschaft einer Tasse zeigen, daß sie eine solche
Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens
ist. Das dürfte aus Gründen, die hinsichtlich Zahlen von Benacerraf
popularisiert wurden, schwierig sein."

Aus Gründen, die hinsichtlich Tassen von mir popularisiert wurden, ist
es dagegen ganz leicht: Eine Tasse kann man als Menge von Atomen, als
Menge von Form, Farbe und Funktion, als Menge von möglichen Scherben
usf. auffassen.

Neben einem starken Mangel an Ingeniositàt muss aber gleichzeitig eine
ausgepràgte Unkenntnis der relevanten Literatur vorliegen, um diese
einfachen Zusammenhànge zu bezweifeln; schon Cantor gibt Beispiele:

Man nehme ein Tonstück, sei es eine einfache Melodie oder ein
kompliziertes musikalisches Kunstwerk, etwa eine Symphonie oder ein
Oratorium. Dasselbe setzt sich aus einer bestimmten Zahl m
verschiedener Töne zusammen, die nach vier voneinander unabhàngigen
Richtungen geordnet sind. Als erste Richtung nehme man die Folge der
Töne in der Zeit[...] Die zweite Richtung werde von der Dauer, welche
jeder Ton für sich in der Zeit hat, bestimmt [...] Die dritte Richtung
sei durch die Höhe der Töne gegeben [...] Endlich werde die vierte
Ordnungsrichtung in analogem Sinne durch die Intensitàt der Töne
bestimmt. So aufgefaßt stellt demnach jedes Tonstück eine vierfach
geordnete Menge vor. [E. Zermelo: "Georg Cantor, Gesammelte
Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts", Springer
(1932) p. 421f]

Betrachten wir ein Gemàlde und fassen darin m bestimmte Punkte ins
Auge, etwa so viele und solche, daß sie in der Entfernung, von welcher
aus das Bild gesehen wird, den Eindruck des kontinuierlichen Ganzen
hervorbringen. Beziehen wir das Bild auf eine horizontale und
vertikale Richtung als auf ein zweiachsiges Koordinatensystem, so làßt
es sich nach folgenden Gesichtspunkten als eine vierfach geordnete
Menge auffassen. Die x-Koordinaten mögen zur Bestimmung der ersten,
die y-Koordinaten zur Bestimmung der zweiten Ordnungsrichtung dienen.
Die dritte Richtung werde durch die Farbe der Punkte gegeben [...]
Endlich bestimme die Farbintensitàt der m Punkte die vierte
Ordnungsrichtung. [a.a.O. p. 422]

Das Gemàlde, das Tonstück und die Tasse sind Mengen und gehören wie
alle Dinge (und sogar die leere Menge) zur Menge aller Mengen. Die
Tasse gehört zur Menge aller Tassen, etwa eines Schrankes, und diese
Tassenmenge gehörte selbst dann zur Menge aller Mengen, wenn die Tasse
nur als unzerschlagenes, urelementares Porzellan- oder Tonstück ohne
Mengeneigenschaften aufzufassen wàre.

Wenn schließlich irgendein moderner Perverteur der Mengenlehre trotz
allem behaupten wollte, es gàbe keine Mengen von Dingen, so gibt es
doch für jedes Ding eine endliche Bezeichnung, und es gibt die Menge
aller endlichen Bezeichnungen von Dingen, die isomorph zur Menge aller
Dinge ist.

Die Menge aller endlichen Bezeichnungen ist selbstverstàndlich selbst
eine solche, ebenso die Menge aller Mengen endlicher Bezeichnungen,
die sich nicht selbst enthalten. Aber das zeigt nur ein überflüssiges
weiteres Mal, dass der Platonismus platt und damit das Aktuale nicht
mehr aktuell ist.

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
13/09/2011 - 18:58 | Warnen spam
WM wrote:


Das einfach verstàndliche und unschuldig wirkende Sàtzchen "Die Tasse
gehört zur Menge aller Mengen" zog gleich von zwei Seiten ein
Ungewitter auf sich; zum einen wegen der Entweihung des hehren
Begriffs "Menge" durch eine profane Tasse.

Ein Herr Bader meinte, dass einige von mir anonym dazu zitierten
Autoren sich wünschen sollten, nicht erkannt zu werden (es handelte
sich um Cantor, Fraenkel und Hessenberg, s. KB110913), und meldete



Und die sollten sich wünschen, nicht in Ihren Schwachsinn hineingezogen zu
werden. Ende der Durchsage.

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