Das Kalenderblatt 110921

20/09/2011 - 12:12 von WM | Report spam
Mit Hilfe der Peano-Axiome gelingt es nicht, die natürlichen Zahlen so
zu definieren, dass jemand, der die natürlichen Zahlen oder die
Zuordnung der Bezeichnung nicht kannte, sie nach der Lektüre kennt
oder die Bezeichnung richtig zuordnen kann (s. KB110920).

Die folgenden Axiome charakterisieren die natürlichen Zahlen
eindeutig:

1. 1 ist eine natürliche Zahl.
2. Wenn n eine natürliche Zahl ist, so ist auch n + 1 eine
natürliche Zahl.
3. Die Menge |N der natürlichen Zahlen ist Untermenge einer jeden
Menge, die (1) und (2) erfüllt. (Natürlich erfüllt |N diese Axiome
ebenfalls).

Allerdings benötigt man die nicht weiter definierte Grundoperation der
Addition von 1. Um diese anhand der Realitàt zu erklàren, benötigt man
eine Menge gleichartiger Gegenstànde. Damit kann man allerdings die
natürlichen Zahlen noch einfacher verstàndlich erklàren, als oben
geschehen.

Gruß, WM
 

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#1 Franz Fritsche
22/09/2011 - 12:38 | Warnen spam
Am Tue, 20 Sep 2011 03:12:19 -0700 (PDT) schrieb WM:

Die folgenden Axiome charakterisieren die natürlichen Zahlen
[bis auf Isomorphie --FF] eindeutig:

1. 1 ist eine natürliche Zahl.



1 e IN

2. Wenn n eine natürliche Zahl ist, so ist auch n + 1 eine
natürliche Zahl.



n e IN -> n + 1 e IN

3. Die Menge IN der natürlichen Zahlen ist Untermenge einer jeden
Menge, die (1) und (2) erfüllt. (...)



1 e M & An e IN(n e M -> n + 1 e M) -> M c IN.

Was man dann noch benötigt, sind die zwei folgenden (bislang bei Ihnen
fehlenden) Axiome:

4. n + 1 =/= 0 ,

5. n + 1 = m + 1 -> n = m .

(Andernfalls ist die "Addition von 1", und damit auch die Menge IN selbst
"unterspezifiziert", also eben _nicht_ hinreichend charakterisiert.)

Zusammen genommen handelt es sich hier also um eine VARIANTE der Peano-
Axiome (was wirklich nicht sonderlich verwunderlich ist).

Vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Axiome

Allerdings benötigt man die nicht weiter definierte Grundoperation der
Addition von 1.



Man nennt das einen undefinierten Grundbegriff. Wir haben hier also die
undefinierten Grundbegriffe IN, 1 und ( )+( ) . So weit ich das sehe und
beurteilen kann, kann ( ) + 1, hier für die Nachfolgeroperation S( ) ein-
treten, die üblicherweise bei der Formulierung der Peano-Axiome verwendet
wird. Man muss das dann lediglich bei der Definition der Addition berück-
sichtigen, indem man n + m nur für n,m e IN, m =/= 1, definiert. (Wie Du
richtig sagst, bleibt dann "Addition von 1" eine "nicht weiter definierte
Grundoperation"; so wie sonst S().)

Ich denke, d a s würde dann für die allgemeinen Definition der Addition
reichen:

n + (m + 1) := (n + m) + 1 .

Mit 2 := 1 + 1, 3 := 2 + 1 [also 3 = (1 + 1) + 1], 4 := 3 + 1, 5 := 4 + 1
erhielte man z. B.

2 + 3 = 2 + ((1 + 1) + 1) = (2 + (1 + 1)) + 1 = ((2 + 1) + 1) + 1
= (3 + 1) + 1 = 4 + 1 = 5.

MfG,
FF

A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

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