Das Kalenderblatt 110922

21/09/2011 - 12:08 von WM | Report spam
Es besteht die Auffassung, dass Mengen und Zahlen axiomatisch
festgelegt werden müssten. Diese Auffassung führt dazu, das fünfte
Peano-Axiom als Induktionsaxiom zu bezeichnen. Viele Mathematiker sind
so abgerichtet worden, dass sie gar nicht mehr in anderen Bahnen
denken können. Manch einer meint sogar, die Addition sei erst in den
reellen Zahlen überhaupt erklàrt und um sie anwenden zu können, müsse
man sie als Funktion auffassen und zunàchst einen Funktionsbereich
definieren. Viele halten dies für die einzige richtige Auffassung, was
natürlich falsch ist, zumal die aus der Wirklichkeit abstrahierte
Addition weder durch den Peanoschen Versuch noch durch die allgemein
üblichen Körperaxiome definiert wird (s. KB110920).
Eine andere Auffassung, die Dedekindsche, beruht darauf, dass die
Addition von 1 als grundlegende Eigenschaft der vollstàndigen
Induktion vorhanden ist und zum Beweis von Sàtzen und zur Schöpfung
von Zahlen vorausgesetzt werden kann. Sie muss nicht axiomatisch
festgelegt werden, und wenn, dann besteht diese Festlegung in der
Feststellung, die einzig und allein als Definition der vollstàndigen
Induktion zu verstehen ist: "Auf jedes n folgt genau ein n + 1".

Gruß, WM
 

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#1 Franz Fritsche
21/09/2011 - 14:38 | Warnen spam
Am Wed, 21 Sep 2011 03:08:44 -0700 (PDT) schrieb WM:

... Dedekind ... vollstàndigen Induktion ...



Zitat:

80. S a t z d e r v o l l s t à n d i g e n I n d u k t i o n (Schluß
von n auf n').

Um zu beweisen, daß ein Satz für alle Zahlen n einer Kette m_0 gilt, genügt
es zu zeigen,

(r) daß er für n = m gilt, und
(s) daß aus der Gültigkeit des Satzes für eine Zahl n der Kette m_0
stets seine Gültigkeit auch für die folgende Zahl n' folgt.

[...] Am hàufigsten wird der Fall auftreten, wo m = 1, also m_0 die volle
Zahlenreihe N ist.

(R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen, 1887.)

Wenn wir also speziell m = 1 setzen und m_0 = N, erhalten wir:

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

S a t z d e r v o l l s t à n d i g e n I n d u k t i o n (Schluß von n
auf n').

Um zu beweisen, daß ein Satz für alle Zahlen n in N gilt, genügt es zu
zeigen,

(r) daß er für n = 1 gilt, und
(s) daß aus der Gültigkeit des Satzes für eine Zahl n in N
stets seine Gültigkeit auch für die folgende Zahl n' folgt.

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

MfG,
FF

A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

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