Das Kalenderblatt 110923

22/09/2011 - 13:33 von WM | Report spam
Den Begriff der Menge in völlig einwandfreier Weise zu definieren ist
bisher nicht gelungen. Wahrscheinlich darf auch hier eine Definition
nicht verlangt werden, sondern nur ein Axiomsystem. [Gerhard
Hessenberg: "Grundbegriffe der Mengenlehre", Sonderdruck aus den
"Abhandlungen der Fries'schen Schule", I. Band, 4. Heft, Vandenhoeck &
Ruprecht, Göttingen (1906) § 11]

Wünschenswert wàr's wohl gewesen,
zu wissen, was das Wort verheißt.
Doch kannst du nirgendwo es lesen
und lernst nicht, was du nicht schon weißt.

Wie Cantor erkannt hatte, ist eine Definition des komplizierten
mathematischen Grundbegriffs Menge zumindest wünschenswert - im
Gegensatz zur Folge der natürlichen Zahlen, deren Eigenschaften durch
die Peanosche Nachfolger-Idee weder besser noch genauer ausgedrückt
werden, als sie ohnehin ein jeder kennt. (Im Gegenteil: Die Peano-
Axiome definieren bekanntlich jede Folge, die mit 1 bzw. 0 beginnt und
paarweise verschiedene Glieder besitzt. Sie verwirren also mehr als
sie klàren.)

Trotzdem kann jeder Mensch erkennen, ob ein vorgelegtes Gebilde eine
Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer
Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen ist oder nicht. Eines
aber sollte man von vornherein erkennen und berücksichtigen: Es gibt
keine "völlig einwandfreien Definitionen". /Jede/ Definition ist der
Versuch, mit mehr oder weniger unbeholfenen und jedenfalls immer auf
vorhergehendem, fehleranfàlligen Informationsaustausch beruhenden
Mitteln, gemeinsames Wissen zu erzeugen. Ein Beispiel liefert
Hessenberg gleich selbst mit einer verfehlten Trichotomie:

Denken wir uns als ganz konkretes Beispiel etwa einen Korb Apfel und
einen Korb Birnen. Um zu prüfen, ob beide gleichviel Stücke enthalten,
können wir so verfahren: Wir ergreifen mit der linken Hand einen
Apfel, mit der rechten eine Birne und legen jedes Stück aus seinem
Korb heraus. Dieses Verfahren wiederholen wir, solange es geht. Es
wird nach einer endlichen Anzahl von Wiederholungen zu einem Ende
führen, und zwar entweder dadurch, daß keine Äpfel mehr da sind, oder
dadurch, daß keine Birnen mehr vorhanden sind, oder drittens
dadurch, daß weder Birnen noch Äpfel mehr übrig bleiben {{oder
viertens dadurch, dass wir nicht weitermachen können}}. Im ersten Fall
ist die Anzahl der Birnen, im zweiten die der Äpfel
die größere, im dritten Fall sind die Anzahlen einander gleich und im
vierten Fall sind sie zu groß, um von uns verglichen werden zu
können}}. [...] Es ist natürlich noch nicht gesagt, daß dieser
Definition auch für unendliche Mengen ein vernünftiger Sinn zukommt.
[Gerhard Hessenberg, a.a.O. §11, 12]

Da diesem Verfahren schon für große endliche Mengen kein vernünftiger
Sinn zukommt, ist es sogar ausgesprochen unwahrscheinlich, dass ihm
für den noch unwahrscheinlicheren Fall, dass unendliche Mengen (in
einem konkreteren Sinne als eben durch ihre Nennung) existieren, ein
Sinn zukommt.

Gruß, WM
 

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#1 Vogel
26/09/2011 - 22:42 | Warnen spam
WM wrote in news:597b0bdb-61d0-47aa-9f68-
:


Den Begriff der Menge in völlig einwandfreier Weise zu definieren ist
bisher nicht gelungen.



Dem mus man nicht zustimmen. Es ist wohl eher so, dass man sich nicht auf
eine eindwandfreie Definition geeinigt hat.



Man benutzt dafür den intuitiven Begriff der Altagserfahrung.
Das muss aber nicht so sein.



Damit eine Anzahl Elemente vom Rest der Welt identifiziert werden kann,
müssen sie ein gemeinsames Merkmal haben und sei es nur, dass man für
jedes Element definiert es gehöre zur gleichen Menge wie die anderen.



Und schon hat man den Begriff 'Menge' definiert.

...

Wie Cantor erkannt hatte, ist eine Definition des komplizierten
mathematischen Grundbegriffs Menge zumindest wünschenswert



???



Mathematik wird erst so recht geheimnisvoll wenn man insbesondere etwas
hineneinheimst.

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