Das Kalenderblatt 111031

30/10/2011 - 09:04 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 111031

Alle abbrechenden Binàrzahlen (ich wàhle die Darstellung mit Nullen am
Ende) können in einer abzàhlbaren Folge dargestellt werden, z.B. als
0,1; 0,01; 0,11; ... , wie ich das hier schon mehrfach beschrieben
habe. Man schiebt einmal eine 0 und einmal eine 1 bei allen Zahlen mit
n Stellen hinter dem Komma ein und erhàlt so alle Zahlen mit n + 1
Stellen. Wir dürften sicher darin übereinstimmen, daß man (abgesehen
von physikalischen Einschrànkungen) auf diese Weise tatsàchlich alle
abbrechenden rationalen Zahlen erhàlt.
Wie unterscheiden sich nun diese von den irrationalen Zahlen? Wenn
die Stellenzahl (ohne Nullen am Ende) gleich n, also endlich ist, so
ist die Zahl sicher rational. Dies gilt, wohlgemerkt, für /jede/
natürliche Zahl n. Das ist das potentiell Unendliche. Im Umkehrschluß
folgt: Wenn die Zahl nicht rational ist, so ist ihre Stellenzahl nicht
endlich.
(Das ist der Umkehrschluß, den man im ersten Semester lernt oder
gelernt haben sollte: A ==> B ist àquivalent mit ~B ==> ~A.) Da aber
im Endlichen ordinal = kardinal gilt, so können bei den nicht
endlichen Stellenanzahlen der Irrationalzahlen nicht nur endliche
"Stellennummern" (= Ordinalzahlen) vorhanden sein. Irrationalzahlen
liefern somit, wie schon Cantor erkannte, das Paradigma des aktual
Unendlichen. Deshalb spreche ich von der "omegaten" Stelle. Eine n-te
Stelle tut's nicht.
[WM, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 30. 10. 2004]
http://groups.google.com/group/de.s...rt%22&

Damit war ein Vorlàufer des Binàren Baums in die Diskussion
eingeführt. Solche Listen gab es zwar schon vorher, am 8. 10. in
derselben Diskussionsrunde und am 15. 3. in meinem Aufsatz "The
Meaning of Infinity"
http://arxiv.org/ftp/math/papers/0403/0403238.pdf
und sicher auch in ungezàhlten Textstellen der letzten 200 Jahre, doch
erst jetzt kam die Verknüpfung mit dem Binàren Baum zustande. Der
grünt ebenfalls seit Jahrhunderten und stand natürlich auch seit
langem in meinem Garten. Doch es ist bekanntlich ein großer
Unterschied, ob man etwas weiß, oder ob man weiß, dass man es weiß.
Beim Übergang zum Binàren Baum wird lediglich die Schreibweise
vereinfacht, indem identische Anfangsabschnitte nur einmal notiert
werden. Dabei kommt nichts hinzu. Doch der so angeschriebene Binàre
Baum enthàlt nun alle aktual unendlichen Pfade, auch die für 1/3 und 1/
pi. Diese Antinomie löst sich elegant auf: Die aktual unendlichen
Pfade sind hinzugekommen und sind nichts. Sie bilden eine leere Menge.
- Kein Wunder, dass man sie nicht zàhlen kann.
Grenzwerte wie 1/3 und 1/pi existieren zwar, aber sie sind nicht
als Binàrfolgen codierbar, auch nicht als unendliche. Sie können nur
endlich definiert werden. Denn der Binàre Baum, der alle endlichen und
unendlichen Pfade enthàlt, unterscheidet sich durch nichts von dem
Binàren Baum, der lediglich alle endlichen Pfade enthàlt ... Doch wir
wollen nicht vorgreifen. Das alles erkannte ich erst spàter.

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
30/10/2011 - 11:08 | Warnen spam
WM wrote:

Alle abbrechenden Binàrzahlen (ich wàhle die
Darstellung mit Nullen am Ende)
können in einer abzàhlbaren Folge dargestellt werden, z.B. als
0,1; 0,01; 0,11; ... , wie ich das hier schon mehrfach beschrieben habe.



Falsch, Du wàhlst nicht die Darstellung mit Nullen am Ende.

Gruß
Michael

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