Das Kalenderblatt 111101

31/10/2011 - 08:12 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 111101

Ein wesentlicher Punkt bei der Diskussion des Binàren Baums ist die
Beurteilung der Eigenschaften von aktual unendlich langen Pfaden
(Binàrdarstellungen reeller Zahlen aus dem Einheitsintervall) und der
damit möglichen Darstellung periodischer rationaler und irrationaler
Zahlen, mit der auch die Aussage eng verknüpft ist, dass zwischen zwei
rellen Zahlen mindestens eine rationale Zahl liegt. Die Erwàhnung
dieser Tatsache
[WM, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 29. 10. 2004]
rief unterscheidliche Reaktionen hervor:

Damit zwischen zwei solchen Zahlen aus IR eine aus IQ liegen kann,
muessten sie sich (in Dezimaldarstellung) in der nten Stelle
unterscheiden, wobei n beliebig gross sein kann - aber endlich.
Wann sind zwei Reelle Zahlen verschieden? Sicher wenn sich in einer
nten Stelle unterscheiden, aber da hier die Unendlichkeit involviert
ist, gibts da vielleicht noch andere Moeglichkeiten. Mich erinnert das
an das "Halteproblem" in der theoretischen Informatik. Um unendlich
viele Stellen zu vergleichen, braucht man auch unendlich viel Zeit -
die hat man aber nicht, folglich kann es Paare von Zahlen aus IR geben
fuer die man die angeblich dazwischenliegende Zahl aus IQ nicht finden
kann, es sei denn man vergleicht tatsaechlich unendlich viele Stellen
was normalerweise nicht geht.
[Carla Schneider, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 30.
10. 2004]

{{Das Halteproblem (vgl. KB111027) spielt hier wohl hinein. Doch auch
unendlich viele endlich indizierte Stellen reichen nicht aus, um einen
Grenzwert darzustellen. Einfaches Beispiel: Auch unter den unendlich
vielen Gliedern der Folge
0,1
0,01
0,001
...
mit einer 1 an endlich indizierter Stelle findet man kein Glied mit
dem Grenzwert 0. Dieses Glied ist mit den unendlich vielen endlich
indizierten Stellen nicht darstellbar. Will man die Darstellbarkeit
als Dezimalbruch trotzdem fordern, so benötigt man eine auf alle
endlichen Stellen folgende Stelle mit Index omega. Gleiches gilt für
alle periodischen und alle irrationalen Zahlen.}}

CS: Wenn zwischen zwei Irrationalzahlen immer eine rationale Zahl
waere, koennte man daraus schliessen dass die Mengen der
Irrationalzahlen und der Rationalzahlen gleich maechtig sind - was
falsch ist. Es muss also das Kriterium fuer Ungleichheit bei
Irrationalzahlen falsch sein. Zwei Irrationalzahlen sind zwar ungleich
wenn sie sich ab der nten stelle unterscheiden, aber das umgekehrte
kann nicht gelten. Die ominoese Zahlengerade besteht also fast nur aus
unendlich kleinen Stuecken in denen unendlich viele Irrationalzahlen
nebeneinander liegen die sich nur in der unendlichten Stelle
unterscheiden {{bzw. gar nicht berechenbar sind.}} Dazwischen liegen
die rationalen Zahlen - die sich an endlicher Stelle unterscheiden.
Eine merkwuerdige Vorstellung ...
WM: In der unendlichten Stelle (Hilbert sagt omegate) kann sich
nichts unterscheiden, weil diese gar nicht erkennbar ist: omega = 1 +
omega.
[Carla Schneider, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 31.
10. 2004]

{{In der Tat eine merkwürdige Vorstellung! Doch schon in einem
vorausgehenden Beitrag war klargestellt worden:}} Ich glaube das
Problem ist, dass zwei irrationale Zahlen, die sich nicht an einer
nten Stelle unterscheiden, wobei n endlich ist, als gleich bezeichnet
werden. {{Das muss man unbedingt konzedieren.}}
[Carla Schneider, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 31.
10. 2004]

Weniger verstàndig àußerte sich ein Mathematik-Lehrer mit ungarischen
Wurzeln:
jb: Wenn ein Mathematiker sieht, daß Du behauptest, daß zwischen
zwei Zahlen aus Q eine aus R\Q stehe und umgekehrt zwischen zwei
Zahlen aus R\Q eine Zahl aus Q, so wird er die Arbeit in diesem
Augenblick in den Müll schmeißen. Ich selbst, obwohl ich nur Lehrer
bin, tàte ich das.
WM: Ich behaupte, daß zwischen zwei Zahlen aus IR mindestens eine
aus IQ liegt. Nicht unbedingt die Umkehrung. Schließlich komme ich ja
aus anderen Erwàgungen zu der Einsicht und Lehre, daß IR\IQ die leere
Menge ist {{wobei ich aus heutiger Sicht hinzufügen muss, dass damit
nur die Zifferndarstellungen gemeint sind, nicht die Zahlen selbst,
was aber eine Frage des Standpunktes ist.}}
jb: Genau. Aber normalerweise endet hier die Diskussion mit einem
Mathematiker. Wenn Du glaubst, daß es keine irrationalen Zahlen gibt,
so verweist Dich ein Mathematiker zurück in die neunte Klasse der
Schule und das ist das Ende der Diskussion.
[jb alias Gastfreund aus Korinth, "Hat Cantor doch geirrt?",
de.sci.mathematik, 30. 10. 2004]

http://groups.google.com/group/de.s...rt%22&

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
31/10/2011 - 11:42 | Warnen spam
Am 31.10.2011 08:12, schrieb WM:




Das Kalenderblatt 111101

Ein wesentlicher Punkt bei der Diskussion des Binàren Baums ist die
Beurteilung der Eigenschaften von aktual unendlich langen Pfaden



Hallo WM,

ich dachte aktual Unendliches bei nach mindestens einer Seite offenen Folge
wie bei den natürlichen Zahlen als ein in sich widersprüchliches Konzept
"gibt" es nicht (als vernünftige Konstruktion), existiert also nur als Irrtum,
Fehler oder wissenschaftlicher, hier mathematischer Wahn?

Gruß: Rudolf Sponsel, Erlangen

(Binàrdarstellungen reeller Zahlen aus dem Einheitsintervall) und der
damit möglichen Darstellung periodischer rationaler und irrationaler
Zahlen, mit der auch die Aussage eng verknüpft ist, dass zwischen zwei
rellen Zahlen mindestens eine rationale Zahl liegt. Die Erwàhnung
dieser Tatsache
[WM, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 29. 10. 2004]
rief unterscheidliche Reaktionen hervor:

Damit zwischen zwei solchen Zahlen aus IR eine aus IQ liegen kann,
muessten sie sich (in Dezimaldarstellung) in der nten Stelle
unterscheiden, wobei n beliebig gross sein kann - aber endlich.
Wann sind zwei Reelle Zahlen verschieden? Sicher wenn sich in einer
nten Stelle unterscheiden, aber da hier die Unendlichkeit involviert
ist, gibts da vielleicht noch andere Moeglichkeiten. Mich erinnert das
an das "Halteproblem" in der theoretischen Informatik. Um unendlich
viele Stellen zu vergleichen, braucht man auch unendlich viel Zeit -
die hat man aber nicht, folglich kann es Paare von Zahlen aus IR geben
fuer die man die angeblich dazwischenliegende Zahl aus IQ nicht finden
kann, es sei denn man vergleicht tatsaechlich unendlich viele Stellen
was normalerweise nicht geht.
[Carla Schneider, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 30.
10. 2004]

{{Das Halteproblem (vgl. KB111027) spielt hier wohl hinein. Doch auch
unendlich viele endlich indizierte Stellen reichen nicht aus, um einen
Grenzwert darzustellen. Einfaches Beispiel: Auch unter den unendlich
vielen Gliedern der Folge
0,1
0,01
0,001
...
mit einer 1 an endlich indizierter Stelle findet man kein Glied mit
dem Grenzwert 0. Dieses Glied ist mit den unendlich vielen endlich
indizierten Stellen nicht darstellbar. Will man die Darstellbarkeit
als Dezimalbruch trotzdem fordern, so benötigt man eine auf alle
endlichen Stellen folgende Stelle mit Index omega. Gleiches gilt für
alle periodischen und alle irrationalen Zahlen.}}

CS: Wenn zwischen zwei Irrationalzahlen immer eine rationale Zahl
waere, koennte man daraus schliessen dass die Mengen der
Irrationalzahlen und der Rationalzahlen gleich maechtig sind - was
falsch ist. Es muss also das Kriterium fuer Ungleichheit bei
Irrationalzahlen falsch sein. Zwei Irrationalzahlen sind zwar ungleich
wenn sie sich ab der nten stelle unterscheiden, aber das umgekehrte
kann nicht gelten. Die ominoese Zahlengerade besteht also fast nur aus
unendlich kleinen Stuecken in denen unendlich viele Irrationalzahlen
nebeneinander liegen die sich nur in der unendlichten Stelle
unterscheiden {{bzw. gar nicht berechenbar sind.}} Dazwischen liegen
die rationalen Zahlen - die sich an endlicher Stelle unterscheiden.
Eine merkwuerdige Vorstellung ...
WM: In der unendlichten Stelle (Hilbert sagt omegate) kann sich
nichts unterscheiden, weil diese gar nicht erkennbar ist: omega = 1 +
omega.
[Carla Schneider, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 31.
10. 2004]

{{In der Tat eine merkwürdige Vorstellung! Doch schon in einem
vorausgehenden Beitrag war klargestellt worden:}} Ich glaube das
Problem ist, dass zwei irrationale Zahlen, die sich nicht an einer
nten Stelle unterscheiden, wobei n endlich ist, als gleich bezeichnet
werden. {{Das muss man unbedingt konzedieren.}}
[Carla Schneider, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 31.
10. 2004]

Weniger verstàndig àußerte sich ein Mathematik-Lehrer mit ungarischen
Wurzeln:
jb: Wenn ein Mathematiker sieht, daß Du behauptest, daß zwischen
zwei Zahlen aus Q eine aus R\Q stehe und umgekehrt zwischen zwei
Zahlen aus R\Q eine Zahl aus Q, so wird er die Arbeit in diesem
Augenblick in den Müll schmeißen. Ich selbst, obwohl ich nur Lehrer
bin, tàte ich das.
WM: Ich behaupte, daß zwischen zwei Zahlen aus IR mindestens eine
aus IQ liegt. Nicht unbedingt die Umkehrung. Schließlich komme ich ja
aus anderen Erwàgungen zu der Einsicht und Lehre, daß IR\IQ die leere
Menge ist {{wobei ich aus heutiger Sicht hinzufügen muss, dass damit
nur die Zifferndarstellungen gemeint sind, nicht die Zahlen selbst,
was aber eine Frage des Standpunktes ist.}}
jb: Genau. Aber normalerweise endet hier die Diskussion mit einem
Mathematiker. Wenn Du glaubst, daß es keine irrationalen Zahlen gibt,
so verweist Dich ein Mathematiker zurück in die neunte Klasse der
Schule und das ist das Ende der Diskussion.
[jb alias Gastfreund aus Korinth, "Hat Cantor doch geirrt?",
de.sci.mathematik, 30. 10. 2004]

http://groups.google.com/group/de.s...rt%22&

Gruß, WM

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