Das Kalenderblatt 111103

02/11/2011 - 09:56 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 111103

Die Widerleger des Baumargumentes gehen mit dem Unendlichen in einer
nachlàssigen und willkürlichen Weise um, die sich gut anhand der
folgenden Überlegung verdeutlichen làsst:

Summiert man

oo
SUM 1/2^k = 1 (A)
k = 1

nur bis zur natürlichen Zahl n

n
SUM 1/2^k = 1 - 1/2^n (B)
k = 1

so fehlt ein Rest 1/2^n an der Summe 1.

Addiert man über alle natürlichen Zahlen, von denen bekanntlich keine
unendlich ist, so fehlt ein Rest, der größer als 0 ist (da jede
natürliche Zahl kleiner als unendlich und also 1/2^n =/= 0 ist), an
der Summe 1

SUM 1/2^k < 1 (C)
k ∈|N

da der zu subtrahierende Term für /keine/ natürliche Zahl
verschwindet.

Diese Überlegung stieß bei Franziska Neugebauer auf Unverstàndnis: Die
beiden Formulierungen {{(A) und (C)}} sind für mich bedeutungsgleich
und drücken dasselbe aus. Sie geheimnissen hier einen Unterschied
hinein, der nicht vorhanden ist. Der zu subtrahierende Term ist ein
Grenzwert. Er ist Null.
[Franziska Neugebauer, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt",
de.sci.mathematik, 6. 4. 2005]

Der hier geleugnete Unterschied wird dagegen stark betont, wenn die
Knotenmenge der aktual unendlichen Pfade des Binàren Baums von der
Knotenmenge aller endlichen Pfaden zu unterscheiden ist, zum Beispiel
im ersten formalen Beweis gegen die Vollstàndigkeit meiner Liste aller
reellen Zahlen aus dem Einheitsintervall:

0,1
0,01; 0,11
0,001; 0,101; 0,011; 0,111

Es kommen in der Liste in der Tat alle Zahlen, die eine endliche
Stellenzahl besitzen, vor.
Satz: Jede Zahl dieser Folge hat eine abbrechende
Binàrdarstellung.
Beweis: Betrachten wir eine Zahl x aus der Folge.
Da x in der Folge steht, gibt es (mindestens) ein n e N, so dass x
an der n-ten Stelle der Folge steht. Aus dem Bildungsgesetz der Folge
ist ersichtlich, dass die Zahl in der n-ten Zeile, also x, höchstens n
Binàrstellen hat. QED
[Christopher Creutzig, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt",
de.sci.mathematik, 9. 5. 2005]

http://groups.google.com/group/de.s...gt%22&

Aus dieser Zwangslage wurde dann der Binàre Baum geboren.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Michael Klemm
02/11/2011 - 10:47 | Warnen spam
WM wrote:
...
Diese Überlegung stieß bei Franziska Neugebauer auf Unverstàndnis: Die
beiden Formulierungen {{(A) und (C)}} sind für mich bedeutungsgleich
und drücken dasselbe aus. Sie geheimnissen hier einen Unterschied
hinein, der nicht vorhanden ist.



Nein, {{(A) und (B)}} ist natürlich gemeint.

Gruß
Michael

Ähnliche fragen