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Das Kalenderblatt 111106

05/11/2011 - 10:17 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 111106

Das einfachste und einleuchtendste Argument für die Abzàhlbarkeit
aller Pfade des Binàren Baums besteht in der Beobachtung, dass zwei
Pfade erst dann als zwei Pfade nachweisbar und also unterscheidbar
sind, wenn sie auf einer Ebene E(n) durch verschiedene Knoten
verlaufen. (vgl. KB111105) Dies kann nur dann geschehen, wenn es auf
einer Ebene E(m < n) einen Knoten gibt, an dem sie sich trennen.

Der Binàre Baum ist aus der Elementarzelle

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o
/ \

aufgebaut. Für jede Ebene außer der Ebene E(0) des Wurzelknotens gilt:
Die Anzahl der unterscheidbaren einlaufenden Pfade und die Anzahl der
Knoten auf dieser Ebene ist gleich der Anzahl der unterscheidbaren
auslaufenden Pfade. Diese Methode ist mindestens so elementar wie die
Bijektion. Und die Menge der Knoten ist abzàhlbar.

Ein binàrer unendlicher Baum ist natürlich gleichmàchtig zur
Binàrdarstellung der reellen Zahlen in [0,1]. Jeder Weg (Ast) stellt
eine Zahl dar. Diese Äste können sie nicht abzàhlen! Was sie auch
anstellen sie erwischen immer nur eine Teilmenge aller Äste.
Fröhliches abzàhlen und keinen Ast auslassen bitte! [Reinhard
Kronberger, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt", de.sci.mathematik, 11.
5. 2005]

Wenn sie dennoch behaupten card(Knoten) = card(Äste) so müssen sie das
Beweisen z.B. indem sie eine Bijektion zwischen Knoten und Ästen
aufzeigen. [Reinhard Kronberger, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt",
de.sci.mathematik, 19. 5. 2005]

BF: Was ich für nicht akzeptabel halte, sind Versuche ein
Axiomensystem mit Argumenten widerlegen zu wollen die in diesem
Axiomensystem gar nicht zutreffen (sondern nur in einem abweichend
definierten). "Wenn man ein Axiomensystem schlagen will, dann mit
seinen eigenen Mitteln".
WM: Logik gehört aber nicht dazu?
Logik schon, aber das (n+1)-te Wiederholen bereits entkràfteter
"Gegenargumentationsversuche" nicht.
{{Schon zu diesem frühen Zeitpunkt also, nur wenige Tage nach
Einführung des Binàren Baums in die Diskussion, stellte B. Frey die (n
+1)-te Wiederholung und damit wohl auch die n-fache Entkràftung fest,
obwohl damals die Diskussion noch sehr schleppend verlief und kaum
weniger als ein Tag verging, bevor eine Antwort erfolgen konnte.}}
WM: Daß jeder Verzweigungspunkt im binàren Baum ein Knoten ist und
folglich nicht mehr Äste als Knoten + 1 vorhanden sein können, und
folglich auch nicht mehr Pfade, das braucht man nicht zu
berücksichtigen?
BF: Für einen Baum der Höhe 4 haben Sie ja so recht. {{Das gilt bis
zu jeder natürlichen Höhe. - Und andere Höhen enthàlt der Binàre Baum
nicht.}}
WM: Wir wissen, daß ein Verzweigungspunkt ein Knoten ist und daß
ohne Zuwachs an Knoten auch kein Zuwachs an Pfaden erfolgen kann. Dazu
benötigt man keine Bijektion.
BF: Können Sie mir den Knoten verraten, in dem der Pfad zu 1/3
endet? Nein? Dann fürchte ich, sie haben beim Abzàhlen der Pfade
mindestens einen vergessen.
[Bernhard Frey, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt", de.sci.mathematik,
23. 5. 2005]

Welcher der (überabzàhlbar) vielen aus einem Knoten herauslaufenden
Pfade wird auf was bijektiv abgebildet? [Hermann Jurksch, "Cantors
Diagonalbeweis widerlegt", de.sci.mathematik, 28. 5. 2005]

Eine Widerlegung der Gültigkeit meiner Abschàtzung vermag ich aus
allen Erwiderungen, für die diese Beitràge exemplarisch stehen und in
denen geradezu stereotyp immer wieder eine Bijektion gefordert und die
Existenz von überabzàhlbar vielen Pfaden vorausgesetzt wird, nicht zu
erkennen. Es ist ausgeschlossen, dass eine Verzweigung ohne Knoten
existiert, denn eine Verzweigung /ist/ ein Knoten. Mehr Pfade als
Knoten zu vermuten, würde auf Pfade führen, die nicht mit dem
Wurzelknoten verbunden sind . Kein Pfad führt auf solche Pfade.

http://groups.google.com/group/de.s...gt%22&

Gruß, WM
 

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#1 Roland Franzius
05/11/2011 - 12:06 | Warnen spam
Am 05.11.2011 10:17, schrieb WM:

Das Kalenderblatt 111106

Das einfachste und einleuchtendste Argument für die Abzàhlbarkeit
aller Pfade des Binàren Baums besteht in der Beobachtung, dass zwei
Pfade erst dann als zwei Pfade nachweisbar und also unterscheidbar
sind, wenn sie auf einer Ebene E(n) durch verschiedene Knoten
verlaufen. (vgl. KB111105) Dies kann nur dann geschehen, wenn es auf
einer Ebene E(m< n) einen Knoten gibt, an dem sie sich trennen.

Der Binàre Baum ist aus der Elementarzelle

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aufgebaut. Für jede Ebene außer der Ebene E(0) des Wurzelknotens gilt:
Die Anzahl der unterscheidbaren einlaufenden Pfade und die Anzahl der
Knoten auf dieser Ebene ist gleich der Anzahl der unterscheidbaren
auslaufenden Pfade. Diese Methode ist mindestens so elementar wie die
Bijektion. Und die Menge der Knoten ist abzàhlbar.

Ein binàrer unendlicher Baum ist natürlich gleichmàchtig zur
Binàrdarstellung der reellen Zahlen in [0,1]. Jeder Weg (Ast) stellt
eine Zahl dar. Diese Äste können sie nicht abzàhlen! Was sie auch
anstellen sie erwischen immer nur eine Teilmenge aller Äste.
Fröhliches abzàhlen und keinen Ast auslassen bitte! [Reinhard
Kronberger, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt", de.sci.mathematik, 11.
5. 2005]

Wenn sie dennoch behaupten card(Knoten) = card(Äste) so müssen sie das
Beweisen z.B. indem sie eine Bijektion zwischen Knoten und Ästen
aufzeigen. [Reinhard Kronberger, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt",
de.sci.mathematik, 19. 5. 2005]

BF: Was ich für nicht akzeptabel halte, sind Versuche ein
Axiomensystem mit Argumenten widerlegen zu wollen die in diesem
Axiomensystem gar nicht zutreffen (sondern nur in einem abweichend
definierten). "Wenn man ein Axiomensystem schlagen will, dann mit
seinen eigenen Mitteln".
WM: Logik gehört aber nicht dazu?
Logik schon, aber das (n+1)-te Wiederholen bereits entkràfteter
"Gegenargumentationsversuche" nicht.
{{Schon zu diesem frühen Zeitpunkt also, nur wenige Tage nach
Einführung des Binàren Baums in die Diskussion, stellte B. Frey die (n
+1)-te Wiederholung und damit wohl auch die n-fache Entkràftung fest,
obwohl damals die Diskussion noch sehr schleppend verlief und kaum
weniger als ein Tag verging, bevor eine Antwort erfolgen konnte.}}
WM: Daß jeder Verzweigungspunkt im binàren Baum ein Knoten ist und
folglich nicht mehr Äste als Knoten + 1 vorhanden sein können, und
folglich auch nicht mehr Pfade, das braucht man nicht zu
berücksichtigen?
BF: Für einen Baum der Höhe 4 haben Sie ja so recht. {{Das gilt bis
zu jeder natürlichen Höhe. - Und andere Höhen enthàlt der Binàre Baum
nicht.}}
WM: Wir wissen, daß ein Verzweigungspunkt ein Knoten ist und daß
ohne Zuwachs an Knoten auch kein Zuwachs an Pfaden erfolgen kann. Dazu
benötigt man keine Bijektion.
BF: Können Sie mir den Knoten verraten, in dem der Pfad zu 1/3
endet? Nein? Dann fürchte ich, sie haben beim Abzàhlen der Pfade
mindestens einen vergessen.
[Bernhard Frey, "Cantors Diagonalbeweis widerlegt", de.sci.mathematik,
23. 5. 2005]

Welcher der (überabzàhlbar) vielen aus einem Knoten herauslaufenden
Pfade wird auf was bijektiv abgebildet? [Hermann Jurksch, "Cantors
Diagonalbeweis widerlegt", de.sci.mathematik, 28. 5. 2005]

Eine Widerlegung der Gültigkeit meiner Abschàtzung vermag ich aus
allen Erwiderungen, für die diese Beitràge exemplarisch stehen und in
denen geradezu stereotyp immer wieder eine Bijektion gefordert und die
Existenz von überabzàhlbar vielen Pfaden vorausgesetzt wird, nicht zu
erkennen. Es ist ausgeschlossen, dass eine Verzweigung ohne Knoten
existiert, denn eine Verzweigung /ist/ ein Knoten. Mehr Pfade als
Knoten zu vermuten, würde auf Pfade führen, die nicht mit dem
Wurzelknoten verbunden sind . Kein Pfad führt auf solche Pfade.



Du bist eben eine fern aller praktischen Mathematik in der Einsamkeit
verirrtes Individuum. In jeder Einführung über Numerische Verfahren ist
die in Rede stehende Menge die Menge der ternàren rationalen Folgen:

alle i in N: {xu_i <= xm_i <= xo_i}

mit einer das Halbierungsverfahren steuernden Entscheidungsfunktion, die
gestattet, festzulegen, ob xm_i im Schritt i-> i+1 zu xo_i+1 oder xu_i+1
wird und xm_i+1 demnach in die untere oder obere Intervallhàlfte fàllt.

wobei x_m ein Schàtzwert und xu und xo untere und obere Grenzen bilden.
Ist der Abstand d_i=|xo_i-xu_i| eine Nullfolge, so repràsentiert die
Folge eine reelle Zahl.

Deine Behauptung besteht aus mehreren Teilen

1) dass die Folge der monoton steigenden Binàrfolgen in jeder endlichen
Lànge von Ziffern !=0 abzàhlbar sei

2) dass die Extraktion einer solchen Folge aus einer
Intervallschachtelungsfolge mit abzàhlbar vielen Worten, Formeln,
Zeichen oder sonst was beschreibbar sei, dass die Verfahren abzàhlbar mache
(das ist das Argument, das du bei ln2 so mal eben per Ignoranz wegwischt)

3) dass diese Methoden den Raum der Cauchyfolgen vervollstàndigen, es
also keine Zahl existiert, die positiven Abstand von allen damit
beschriebenen hat.

Nun zeigt dir Cantor den trivialen Stinkefinger mit der Diagonalzahl,
die genau deine Gedankenlücken zwischen deinen endlichen Gedanken zum
unendlichen Thema füllt und glücklicherweise auf die diffizilen
Beziehungen zwischen der Abzàhlbarkeit von Methoden und damit
beschriebenen Mengen verzichten kann.

Es ist also völlig belanglos, ob dein Baum als fiktive, verfahrensfrei
gedachte Unterkante von Aproximationsverfahren abzàhlbar ist oder nicht,
das hat schlicht, wie Dedekind, Cantor und andere erkannten, mit dem
Punktgedrànge auf der Geometrie der reellen "Zahlengerade" nichts zu
tun. Dieses wiederum ist der Grund, warum du es nicht verstehen kannst,
da du methodisch ein wenig festgelegt zu sein scheinst.


Roland Franzius

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