Das Kalenderblatt 111112

11/11/2011 - 07:40 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 111112

In einer alternativen Abschàtzung der Pfadanzahl ohne zersplitterte
Knoten (vgl. KB. 111111) kann ein Pfad seine Beknotung nur vermeiden,
wenn er gemeinsam mit anderen den Binàren Baum ganz verlàsst oder wenn
er gar nicht darin vorkommt:

Hier eine Surjektion von der Menge der Knoten auf die Menge der
Pfade.
/a
B
/b \c
Ein *Pfad* P aus dem durch Kante a einlaufenden *Pfadbündel* tràgt
einen Knoten aus der darüberliegenden Ebene. Dieser Pfad P
repràsentiert eine reelle Zahl, z.B. 1/3. Er verlaufe (oBdA) durch
Kante b, und mit ihm viele andere. Sobald einer derselben vom Pfad P
abweicht, wird der Knoten, in dem dies geschieht, auf ihn abgebildet.
Ein anderer Pfad P', z.B. 0,0111... (und mit ihm viele weitere)
trennt
sich vom Pfad 1/3 und verlàuft (oBdA) in c. Auf diesen Pfad wird der
Knoten B abgebildet. Auf jeden der weiteren durch Kante c verlaufenden
Pfade wird ein Knoten abgebildet, sobald dieser Pfad von P' abweicht,
nàmlich derjenige Knoten, in dem dies geschieht. b und c sind nur
beispielhaft gewàhlt und können selbstverstàndlich vertauscht werden.
[WM, "B-Baum", de.sci.mathematik, 11. 6. 2005]

Man beginnt mit einem beliebigen Pfad - dieser bekommt noch keinen
Knoten. Einer der Pfade, die am ersten Knoten vom ersten Pfad
abweichen wird diesem Knoten zugeordnet. An jedem Knoten wird nun ein
Pfad, der von dem bereits zugeordneten, der durch diesen Knoten làuft
abweicht zugeordnet. Man könnte meinen, dass man damit jeden denkbaren
Pfad erwischt, da ja jeder Pfad irgendwo von einem anderen abweicht.
(So verstehe ich WMs Argumentation) Dass dem nicht so ist, möchte ich
zeigen, indem ich mich zu jedem Knoten auf einen bestimmten Pfad
festlege, der diesem zugeordnet wird.
Der Anfangspfad soll der sein, der immer nach links verlàuft.
Derjenige der dem ersten Knoten zugeordnet wird, weicht also dort vom
ursprünglichen Pfad ab und geht nach rechts. Jetzt wàhle ich wieder
den, der ab hier immer weiter nach links làuft. Und entsprechend wird
jedem Knoten der Pfad zugeordnet, der bis zu diesem Knoten kommt und
ab dort weiter nach links verlàuft. Man erkennt sofort, dass hierbei
eben nicht allen denkbaren Pfaden ein Knoten zugeordnet werden,
sondern nur denen, die ab einem bestimmten Knoten nur nach links
laufen. Diese entsprechen abbrechenden Dualzahlen.
Analog zum Cantorschen Diagonalbweis làsst sich auch hier zeigen,
dass es keine Zuordnung zwischen Knoten und Pfaden geben kann.
(Vorausgesetzt natürlich, man akzeptiert Widerspruchsbeweise und
unendlich fortzusetzende Konstruktionsvorschriften.) {{Das tut man
merkwürdigerweise immer im Falle des Diagonalargumentes, also speziell
auch im vorliegenden Beispiel.}}
Angenommen, man habe eine bijektive Zuordnung zwischen Knoten und
Pfaden gefunden. Nun nehme man den Pfad, der dem ersten Knoten
zugeordnet wird, und gehe in der ersten Ebene in die andere Richtung
wie dieser Pfad. Dann nehme man den nàchsten Knoten und gehe in der
zweiten Ebene in die andere Richtung wie der diesem Knoten zugeordnete
Pfad.
[Manuel Hölß, "B-Baum", de.sci.mathematik, 18. 6. 2005]

Dies funktioniert nur, wenn man eine bestimmte natürliche Zahl auf
einen bestimmten Pfad abbilden will. Das will ich aber gar nicht. Ich
zeige durch eine obere Abschàtzung, daß die Menge aller Pfadbündel,
also Zahlenmengen, die sich an einer endlichen Stelle von anderen
unterscheiden, abzàhlbar ist. Dazu ordne ich jedem Pfadbündel die
Kante zu, durch die es làuft. Teilt es sich abermals, so ordne ich den
neuen Pfadbündeln wieder die jeweilige Kante zu, durch die das
jeweilige làuft. Die vorherige Zuordnung kann man vergessen. Das
führt zwar dazu, daß mehr Kanten als notwendig verbraucht werden.
Macht aber nichts; es gibt genug. Nun sehen wir, daß jede
Unterscheidung an einer endlich numerierten Stelle (auf der n-ten
Ebene des Baumes) zu einer Menge von Pfadbündeln führt, die nicht
größer als die Menge der Kanten, also abzàhlbar ist. [...] Der Trick
mit "immer in die andere Richtung gehen" làßt sich für diese obere
Abschàtzung natürlich nicht anwenden, denn die Zuordnung bzw.
Abbildung erfolgt in jeder Richtung, nach rechts und links.
[WM, "B-Baum", de.sci.mathematik, 18. 6. 2005]

Der oben konstruierte Pfad unterscheidet sich von jedem der vorher
angenommen an einer endlichen Stelle (wo auch sonst?! Es gibt keine
unendliche Stelle.)
[Manuel Hölß, "B-Baum", de.sci.mathematik, 18. 6. 2005]

Um "vorher" etwas anzunehmen, bedarf es einer endlichen Definition des
Angenommenen. Durch Pfade *im Baum* kann diese Definition offenbar
nicht erfüllt werden, denn an jeder *endlichen* Stelle geht es nur
"nach links" oder "nach rechts". Beide Richtungen sind mautpflichtig:
Jeder zahlt (-1) Knoten. Fazit: Es gibt nicht genügend allein durch
endliche Stellen definierte Pfade im Baum. Das einfachste Beispiel ist
der schon erwàhnte Pfad 0,000... *in dem Falle*, dass alle Pfade der
Form 0,1; 0,01; 0,001; ... vorhanden sind

Gruß, WM
 

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#1 Ralf Bader
11/11/2011 - 08:31 | Warnen spam
WM wrote:

Das Kalenderblatt 111112

In einer alternativen Abschàtzung der Pfadanzahl ohne zersplitterte
Knoten (vgl. KB. 111111) kann ein Pfad seine Beknotung nur vermeiden,
wenn er gemeinsam mit anderen den Binàren Baum ganz verlàsst oder wenn
er gar nicht darin vorkommt:



Jetzt hat's bei Ihnen endgültig alle Sicherungen rausgehauen. Dieses
durchgeknallte Gefasel kommt offenbar direkt aus der Klapsmühle (auch wenn
sie sich "University" nennt). Naja, Schwafelkumpan Sponsel wird Ihnen
notfalls attestieren, daß Sie der einzig Normale sind und alle Mathematiker
multimorbid wahnerkrankt.

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