Das Kalenderblatt 111119

18/11/2011 - 07:24 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 111119

Und unendliche Pfade haben, wie Sie oben selbst bemerkt haben, kein
Ende. [Bernhard Frey,
"B-Baum", de.sci.mathematik, 6.6. 2005] {{Aber sie besitzen einen
Anfang!}}

WM: Sind die reellen Zahlen im Baum durch Pfade repràsentiert oder
nicht? Die Antwort ist gleichbedeutend mit: Sind die
Binàrentwicklungen aller reellen Zahlen nur an endlicher Stelle
verschieden oder nicht? Ich antworte nicht auf diese Frage. Ich habe
nur darauf hinzuweisen, daß alle Binàrentwicklungen, die sich an
ausschließlich endlicher Stelle unterscheiden, im Baum sind, wenn die
Diagonalzahl von Cantors Liste in der Liste ist. Es gibt keine letzte
Ziffer in der Diagonalzahl. Trotzdem ist diese angeblich vollstàndig.
Andernfalls könnte man sie ja nicht von den anderen Zahlen der Liste
unterscheiden.
RK: Cantor gibt eine Regel an, die für alle n e IN anwendbar ist.
Damit hat er auf einen Schlag eine unendliche Menge von Dingen
definiert. Du hingegen scheiterst, weil du Regeln angibst, die für
*kein* n e IN erfüllbar sind (z.B. Kanten an der Tiefe n, die
Pfadbündel endgültig unterscheiden).
[Rade Kutil, "B-Baum", de.sci.mathematik, 24. 6. 2005]

Nichts muss sich endgültig unterscheiden. Im Gegenteil. Ich beginne
mit einem einzigen Pfad und gebe eine Regel an, wo ein neuer Pfade
beginnt - genauer: sein unendlicher Endabschnitt, denn die ersten paar
Ziffern sind unbedeutend und durch die Position des Anfangsknotens
ohnehin codiert. Die Endziffern dürfen die Pfade selbst wàhlen. Dass
ein Endabschnitt ohne Pfad existiert, wird wohl niemand behaupten
wollen? Doch diesen Aspekt erkannte ich erst im November:

CS: Falls Du damit meinst, dass jeder Pfad einen Endknoten hat, so
stimmt das genau für endliche Pfade.
WM: Jeder Pfad hat einen Anfangsknoten, und zwar einen eigenen. Du
müßtest es eigentlich folgendermaßen einsehen können. Betrachte einen
beliebigen Knoten eines binàren Baumes:
\
a
/ \
b c
Ein unendlich langer Pfad führt durch den Knoten a und einen der
beiden Knoten b oder c. Der Zweite Knoten ist Ursprung eines anderen
unendlich lagen Pfades. Auf diese Weise wird jeder unendlich lange
Pfad genau einem Knoten zugeordnet, seinem Ursprungsknoten. Zwar
lassen wir bei der Zifferndarstellung reeller Zahlen so ein paar
Anfangsziffern weg, aber die könnten wir sogar wieder einfügen, indem
wir bis zum Anfangsknoten dieselben benutzen, die der durchlaufende
Pfad enthàlt.
CS: Ich sehe nur, dass Du einem Pfad seinen Ursprungsknoten
zuordnen kannst. Wie Du jedem Knoten einen Pfad zuordnen möchtest, so
dass jeder Pfad seinem Ursprungsknoten zugeordnet wird, ist mir nicht
klar. Es geht auch nicht, da in jedem Knoten mehrere Pfade beginnen
(sogar genau so viele, wie es insgesamt Pfade gibt).
WM: Es gibt also Pfade, die aus Verzweigungen hervorgehen und
solche, die das nicht tun.
CS: Nein, durch jeden Knoten gehen viele verschiedene Pfade.
{{Also die übliche Behauptung. Sie greift nicht. Die Annahme, dass in
jedem Knoten genau eine unendliche Knotenfolge P beginnt, ist
konsistent, denn um sich anschließend von P zu unterscheiden, muss
eine weitere unendliche Knotenfolge P' *in einem spàteren Knoten* von
der ersten abweichen. Ohne Informationsverlust kann man sie auch dort
beginnen lassen.}}
WM: Durch Knoten a geht ein einziger Pfad und ein weiterer
entspringt dort. Durch Knoten c geht genau dieser neu entstandene Pfad
und ein weiterer entspringt dort. usw. Durch jeden Knoten geht also
genau ein Pfad.
CS: Du willst zu jedem Knoten genau einen Pfad haben, der in ihm
beginnt. Dann meinst Du, dass jeder in der Wurzel beginnende Pfad ab
irgendeinem Punkt mit einem dieser Pfade übereinstimmen wird. Habe
ich Dich richtig verstanden? Dann musst Du nur noch zeigen, dass das
geht. Zu sagen, dass es für Dich so aussieht, als wàre es so, genügt
nicht.
{{Der geforderte Beweis ist einfach (s.o): Um sich anschließend von P
zu unterscheiden, muss eine weitere unendliche Knotenfolge P' *in
einem spàteren Knoten* von der ersten abweichen.}}
CS: Ich könnte also zum Beispiel jeden Pfad (bis auf den ersten) so
wàhlen, dass er dort, wo er entspringt, einmal nach rechts und danach
immer nach links làuft?
WM: Selbstverstàndlich, doch tu es lieber nicht! Die Zuordnung ist
natürlich beliebig, denn an der Vollstàndigkeit des Baumes àndert sich
dadurch nichts. Aber Du zeigst damit, daß es nur "abbrechende"
Rationalzahlen gibt - und sonst nichts Reelles, nicht einmal
algebraische Irrationalzahlen. Ich bin's zufrieden. Wie aber kommst Du
aus dem Dilemma? Denn die Existenz der Zahl 1/pi als vollstàndige
Binàrziffernkombination behaupte ich nicht.
CS: 1/3 ist also keine relle Zahl?
WM: Zwischen einer reellen Zahl und der zugehörigen
Binàrdarstellung mag ein Unterschied bestehen. Doch darüber brauchen
wir hier nicht zu dskutieren (will ich hier nicht diskutieren).
WENN es eine Binàrdarstellung von 1/3 gibt, DANN ist der
entsprechende Pfad im Baum. Und WENN der Pfad im Baum ist, DANN ist
ihm ein Knoten zugeordnet (ganz einfach, weil jedem Pfad ein Knoten
zugeordnet wird, sobald er (d.h.) die vekürzte Version beginnt.
WM: Hier noch ein Gedanke, allerdings zunàchst unscharf: Zu jeder
einzelnen Irrationalzahl existiert eine Partialsummenfolge aus
abzàhlbar unendlich vielen rationalen Zahlen. Die Partialsummenfolgen
von zwei verschiedenen, in |R beliebig eng benachbarten
Irrationalzahlen unterscheiden sich in abzàhlbar unendlich vielen
Partialsummen, also in unendlich vielen rationalen Zahlen
(Partialsummen von weniger eng benachbarten erst recht). Jede
Irrationalzahl besitzt demnach "einen Halo" aus abzàhlbar unendlich
vielen Rationalzahlen, der zu keiner anderen gehört. {{Und in
Verschàrfung dieses Gedankens kann man sagen: Die irrationale Zahl
repràsentiert im Binàren Baum nichts weiter als ihre Folge rationaler
Zahlen, deren Glieder abzàhlbar sind.}}
[Carsten Schultz, "Weniger als alef ", de.sci.mathematik, 22.-25 11.
2005]

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
18/11/2011 - 08:28 | Warnen spam
WM wrote:

Ich beginne mit einem einzigen Pfad ...



Das ist schon deswegen falsch,
weil Du an der Wurzel mit zwei unendlichen
Pfaden beginnen musst.

Gruß
Michael

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