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Das Kalenderblatt 120107

06/01/2012 - 13:22 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120107

{{Im Spiel "Wir erobern den Binàren Baum" wird durch jeden Knoten ein
unendlicher Pfad gelegt, insgesamt abzàhlbar unendlich viele.}}
TJ: Es kann doch nicht sein, dass ich für jeden Knoten bei der Wahl
eines Pfades völlig frei stehe. Falls ich den ersten Knoten auf Pfad
0.10000..., den zweiten auf 0.01000..., den dritten auf 0.00100...
usw. abbilde, dann habe ich den vorgeschlagenen Algorithmus genaustens
gefolgt, und dennoch werden mehr als ein Paar der möglichen Pfade
dadurch verfehlt. Muß man nicht ein bisschen schlauer vorgehen?
WM: Nein. Es wird kein Pfad verfehlt, der das eroberte Gebiet
verlàsst, jedenfalls kein Pfad der sich durch einen im Endlichen
gelegenen Knoten von einem anderen Pfad unterscheidet. Alle Knoten des
Baums liegen aber im Endlichen, d.h., alle Ziffern einer reellen Zahl
stehen an einer endlich indizierten Stelle.
Was auch immer sich aus dem eroberten Gebiet entfernt, tut dies an
einem eroberten Knoten, der noch nicht markiert wurde. Du musst nur so
vorgehen, dass Du alle Knoten eroberst. Das ist der springende Punkt.
Und das ist möglich! {{Voraussetzung: Es gibt "alle".}}
TJ: Man muss so vorgehen, dass man "am Ende" eine Folge von Pfaden
hat, sodass jeder Knoten auf mindestens einem davon liegt?
WM: Ja. Es darf kein Knoten unerobert bleiben, weil das
gleichbedeutend mit einem uneroberten Pfad wàre und daher
gleichbedeutend mit unendlich vielen uneroberten Pfaden.
TJ: Wenn das so entscheidend ist, wieso wird es nicht in der
Beschreibung des Algorithmus explizit erwàhnt?
WM: Ich schrieb: The aim of the game is to prove that the complete
tree can be conquered by paying not more nodes than available in the
conquered domain. And that is obviously possible!
Den gesamten Baum zu erobern, bedeutet alle Knoten (und damit alle
durch mindestens einen Knoten unterscheidbaren Pfade) zu erobern. Mit
welchem Algorithmus das geschieht, bleibt dem Spieler überlassen,
sonst wàre das Spiel ja noch langweiliger, als es ohnehin schon ist.
Man kann nàmlich jeden beliebigen Algorithmus wàhlen und gewinnt
unweigerlich immer. Ich habe jedenfalls noch keine Verluststrategie
finden können.
Ich habe mir dieses langweilige Spiel nur ausgedacht um die seit
vielen Jahren widerstrebenden Diskussionspartner davon zu überzeugen,
dass alle durch Knoten im Baum unterscheidbaren Pfade eine abzàhlbare
Menge bilden.
TJ: Gibt es weitere Einschrànkungen die man beachten muss, die aber
nicht aus der Beschreibung deutlich gemacht werden? Wenn nicht, gibt
es eine Erklàrung dafür wie man dadurch sichert, dass alle Pfade des
Baums aufgesammelt werden?
WM: Versuche einmal, das zu vermeiden.
Alle Pfade, die sich durch Knoten voneinander unterscheiden, sind
aufgesammelt, wenn kein Knoten mehr übrig ist, durch den sich ein Pfad
von den schon eroberten unterscheiden könnte.
TJ: Wieso kann ich nicht einfach alle Kanten des Pfades
0.11111111... zuerst rot malen, alle andere Kanten des Baums schwarz,
und dann mich immer nur für ganz schwarz gemalte Pfade interessieren,
bis auf möglicherweise ein endliches rotes Anfangsstück, falls ein zu
erobernden Knoten direkt auf dem roten Pfad liegt. Das ist jedenfalls
möglich, somit wird der rote Pfad durch den Algorithmus nie
aufgesammelt.
WM: Wenn das richtig wàre, so müsste er außerhalb des endlichen
Anfangsstückes ohne jeden Knoten existieren. Solche Pfade existieren
im Baum nicht, denn sie würden reellen Zahldarstellungen ohne Ziffern
(ab einer endlichen Stelle) entsprechen. Der Baum ist aber nur ein
anschauliches Beispiel für Zahlendarstellungen.
Der rote Pfad enthàlt nur Knoten im Endlichen. Alle Knoten im
Endlichen werden erobert. Das ist die Moral des Spiels: Man kann mit
unendlich vielen Pfaden der Form
0.1000..., 0.11000..., 0.111000..., ...
alle Knoten des Pfades 0.111... erobern. Der Pfad hat dann nichts
mehr, wodurch er seine Freiheit beweisen könnte. Natürlich kann man
auch alle Pfade der Form
0.0111..., 0.00111..., 0.00111...
verwenden, um den Pfad 0.000... zu erobern. Der Phantasie sind keine
Grenzen gesetzt.
Der Baum lehrt, da er alle mit Ziffern darstellbaren Zahlen des
Intervalls [0, 1] enthàlt, dass es nicht genügend unterschiedliche
Ziffernkombinationen gibt, um die behauptete Menge von reellen Zahlen
darzustellen. Nicht einmal die Menge aller rationalen Zahlen passt in
den Baum = existiert als Ziffernfolge. Und für Dezimaldarstellungen
gilt dasselbe.
[Tommy Jensen, "Beweis für die Abzàhlbarkeit von R",
de.sci.mathematik, 23. 10. 2008]

Dieser Beweis der Nichtüberabzàhlbarkeit der durch unendliche
Ziffernfolgen darstellbaren reellen Zahlen ist deswegen besonders
elegant, weil jede Behauptung des Gegenteils, also von mehr als
abzàhlbar vielen unendlichen Ziffernfolgen, sofort dadurch widerlegt
wird, dass der Behauptende unfàhig ist, auch nur eine weitere
Ziffernfolge im vollstàndig überdeckten Binàren Baum zu
identifizieren. Und durch endliche Definitionen können nur abzàhlbar
viele Zahlen identifiziert werden. Dass die Überabzàhlbarkeit zuweilen
trotzdem noch behauptet wird, ist wohl der mehr als ein Jahrhundert
alten Gewohnheit zuzuschreiben.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Carsten Schultz
06/01/2012 - 14:40 | Warnen spam
Am 06.01.12 13:22, schrieb WM:
[das übliche]

Wenn Du fertig damit bist, hier zu dokumentieren, wieviel Schwachsinn Du
in den letzten Jahren geschrieben hast, ist dann Dein nàchster Plan, zu
dokumentieren, dass Du den Schwachsinn dokumentiert hast?


Carsten Schultz (2:38, 33:47)
http://carsten.codimi.de/
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