Das Kalenderblatt 120201

31/01/2012 - 12:08 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120201

Die Ordinalzahlzàhlung stockt in gewissen Fàllen: Bilden wir ein paar
Vereinigungen nach einfachem Kaufmannsrechnen. (Das wird der "höheren
Mathematik" wohl keinen Abbruch tun.) Die Ergebnisse sind doppelt
unterstrichen.

{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
_________
{1, 2, 3}
=
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
_________
{1, 2, 3, ...}
==
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
_________
{1, 2, 3, ...}
==
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ..., a}
____________
{1, 2, 3, ..., a}
=
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ..., a}
{1, 2, 3, ..., a, aa}
______________
{1, 2, 3, ..., a, aa}

{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ..., a}
{1, 2, 3, ..., a, aa}
...
_________________
{1, 2, 3, ..., a, aa, ...}

{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ..., a}
{1, 2, 3, ..., a, aa}
...
{1, 2, 3, ..., a, aa, ...}
_________________
{1, 2, 3, ..., a, aa, ...}

Nur in zwei Fàllen ist das Ergebnis größer als jeder Summand. Die
Rechnungen können nun auf die Ordinalzahlen abgebildet werden: Die
erste, ganz oben auf {1, 2, 3}, die zweite auf {1, 2, 3, ...}, die
dritte auf {1, 2, 3, ...}. Irgendwie stockt es zwischendurch immer mal
wieder, obwohl ein Summand hinzugefügt wird, der größer als alle
bisherigen ist.
Also Rechnen à la Limesordinalbahnhofsuhr.
Im Pfadmodell gilt:
Vereinigt man alle Pfade, die kürzer als ein Limesordinalpfad sind,
so erhàlt man den Limesordinalpfad.
Vereinigt man alle Pfade, die kürzer als ein Nachfolgeordinalpfad
sind, dann erhàlt man den Vorgànger des Nachfolgeordinalpfades.
Der resultierende kleine Fehler beim Zàhlen scheint den
Mathematikern bislang verborgen geblieben zu sein. Im Gegensatz zur
Arithmetik, die bekanntlich eine der tragenden Sàulen der Mathematik
ist (/ war?), zàhlt man die oben angedeuteten Pfadevereinigungen
nàmlich so:

{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ..., a}
{1, 2, 3, ..., a, aa}
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa}
...
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ...}
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ...}
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ..., b}
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ..., b, bb}
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ..., b, bb, bbb}
...
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ..., b, bb, bbb, ...}
{1, 2, 3, ..., a, aa, aaa, ..., b, bb, bbb, ...}
...
und so weiter (wenn es denn überhaupt so weit hat kommen müssen).
Das von Hilbert einst so gepriesene "über das Unendliche
Hinauszàhlen" hakt hier also ein wenig.
Die Ursache liegt darin begründet, dass die Vereinigung aller
natürlichen Zahlen eine unendliche Zahl sein soll. Weil die
natürlichen Zahlen sich selbst abzàhlen, ist das, wie übrigens
Albrecht schon vor langer Zeit (und inzwischen auch viele andere)
erkannten, ein Widerspruch. Das wird von den Mengenlehrern zwar
vehement zwar bestritten, denn sie zàhlen so:
1, 2, 3, ..., w, w+1, w+2, ..., w+w, w+w+1, ...
Doch làsst sich dieser Widerspruch nicht mehr leugnen, wenn man zum
Zàhlen ein Medium wàhlt, in dem sich Zahl und Abgezàhltes nicht
unterscheiden. Dort wird Cantors "Haken" offenbar. Und das begründet
auch die Divergenz der Ergebnisse bei der Konstruktion des binàren
Baums. Die Vereinigung aller endlichen Pfade scheint dasselbe zu
bieten wie die Vereinigung aller endlichen mit den unendlichen Pfaden.
Folgte man Cantor, wàre es auch so, mit dem Resultat, dass alle Knoten
sowohl mit der Menge aller endlichen Pfade ausgeschöpft würden als
auch noch alle unendlichen Pfade *zusàtzlich* realisieren würden. Das
ist ein Widerspruch. {{Denn bei der Zifferndarstellung ist kein
Unterschied zwischen "allen Elementen" und der "Menge" erkennbar.}}
[WM, "Das Kalenderblatt 091206" de. sci mathematik, 11. - 12. 12.
2009]


Gruß, WM
 

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#1 Torn Rumero DeBrak
31/01/2012 - 15:02 | Warnen spam
Am 31.01.2012 12:08, schrieb WM:
Das Kalenderblatt 120201

Die Ordinalzahlzàhlung stockt in gewissen Fàllen: Bilden wir ein paar
Vereinigungen nach einfachem Kaufmannsrechnen. (Das wird der "höheren
Mathematik" wohl keinen Abbruch tun.) Die Ergebnisse sind doppelt
unterstrichen.

{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
_________
{1, 2, 3}
=>
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
_________
{1, 2, 3, ...}
==>
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...
{1, 2, 3, ...}
_________
{1, 2, 3, ...}
==>
{1}
{1, 2}
{1, 2, 3}
...


Diese Zeile muss 2 Stellen tiefer > {1, 2, 3, ...}
{1, 2, 3, ..., a}


{1, 2, 3, ...}
____________
{1, 2, 3, ..., a}


damit ist dann auch hier
{1, 2, 3, ...}

Im Rest tritt derselbe Fehler auf.

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