Das Kalenderblatt 120209

08/02/2012 - 11:15 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120209


0
1 2
3 4 5 6
7 ...

RR: Und eine weitere Trivialitàt, mit Verlaub, ist es, darauf
hinzuweisen, dass das Zickzackverfahren auf Dubletten stösst.
WM: Es ist ebenso trivial wie die Tatsache, dass nicht jeder meiner
Konstruktionsschritte einen unendlichen Pfad erzeugt, dass aber alle
erzeugt werden, wenn |N existiert.
RR: "nicht jeder" ist übertrieben: "keiner" trifft es genauer.
WM: Wenn Du das auch hier einsiehst:
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... =/= |N
bin ich zufrieden. Wenn nicht, müsste ich allerdings an Deiner Logik
zweifeln, denn dann akzeptierst Du zwar
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ... = {1, 2, 3, ...}
aber nicht
{0} U {0, 1} U {0, 1, 3} U {0, 1, 3, 7} U ... = {0, 1, 3, 7, ...}
das könnte man aber leicht durch eine weitere Bijektion beweisen.
RR: Wenn Du die Abzàhlbarkeit der Pfade postulierst, musst Du sie
auch abzàhlen können.
WM: Weshalb sollte ich sie abzàhlen können, wenn ich beweisen kann,
dass sie eine abzàhlbare Menge nicht übertreffen? Wo bleibt denn da
der Mathematiker? Muss man alles zeigen können, was man beweist? Frag
doch mal nach, ob Zermelo die Wohlordnung der reellen Zahlen schon
angegeben hat.
Es geht immer so weiter, im ganzen Baum. Nur kann man mit aleph_0
Knoten eben nicht an mehr als aleph_0 Stellen fortsetzen.)
Also klare Antwort: ich weiß nicht, wann welcher Pfad fertig wird,
aber ich kann beweisen, dass in keinem Schritt mehr als einer fertig
wird.
RR: Dann hast Du keine Abzàhlung angegeben, sondern Du glaubst
lediglich, dass es eine solche geben müsse, und dass man sie mit viel
Geschick auch bewerkstelligen k nne.
WM: Ich glaube das so, wie Euklid glaubt, dass es unendlich viele
PZ gibt oder wie man glaubt, dass W(2) irrational ist. Ja, genau aus
diesem Grund glaube ich das. Das nennt man Mathematik.
RR: Du gibst aber hoffentlich zu, dass dann, wenn jemand auch diese
Herkulesarbeit vollbracht und die von Dir visionàr entworfene
Abzàhlung der Pfade auch wirklich realisiert hat, die Frage
entschieden werden kann, wann welcher Pfad fertig wird?
WM: Nein, denn es gibt diese vollendet unendlichen Pfade überhaupt
nicht. Man kann nur auf jedem beliebig lange fortschreiten.
Selbstverstàndlich bleibt alles im Endlichen.
Wir können die vier Anfangsabschnitte vereinigen, also die Menge
daraus konstruieren:
{1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}. Dies kann in
vier Schritten geschehen. Natürlich könnte die Konstruktion auch in
einem {1, 2, 3, 4} oder in fünf Schritten geschehen {1} U {1, 2} U {1,
2} U {1, 2, 3} U {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}. Jedenfalls ist nach
Bildung der Vereinigung *jede* der Untermengen von
{ } bis {1, 2, 3, 4} vorhanden, muss also in einem der Schritte
entstanden sein. Daher ist die Anzahl der Untermengen gegeben durch
die Summe Summe[k = 1...4] N_k wobei N_k die im k-ten Schritt
erzeugten Untermengen sind.
Dies für mathematisch falsch, dubios oder irgendwie bemerkenswert
zu halten, gibt es keinen Grund.
Gàbe es überabz. viele Pfade, die in abz. vielen Schritten
konstruiert werden könnten, dann müsste wenigstens ein Schritt dabei
sein, in dem überabz. viele Pfade konstriert würden. Das ist, wie der
Baum zeigt, nicht möglich.
RR: Hmm ... dann kann der Baum ja nicht einmal abzaehlbar viele
Pfade haben. Denn es gibt ja keinen Schritt, in dem abzaehlbar viele
Pfade konstruiert werden.
WM: Hmm ... dann kann |N ja nicht einmal abzaehlbar viele Elemente
enthalten. Denn es gibt ja keinen Schritt, in dem abzaehlbar viele
Elemente konstruiert werden.
RR: Deine Argumentation mit den "Konstruktionsschritten" ist also
nicht ueberzeugend, weil durch die Konstruktionsschritte stets nur
endliche Pfade konstruiert werden.
WM: Willst Du nun schließen: Der unendlichen Pfade sind
überabzàhlbar viele, weil es keinen einzigen gibt? [...] Oben werden
im zweiten Schritt zum Beispiel {1, 2} und {2} erzeugt.
RR: Inwiefern ist das ein Gegenargument? Die letzten Untermengen
gibt es trotzdem erst, sobald das letzte Element aufgezaehlt worden
ist, oder?
WM: Da es kein letztes Element / keinen letzten Schritt gibt, kann
er nicht aufgezàhlt werden. Wie Du schon sagtest: Man kann zàhlen, bis
man schwarz wird. Doch mit X Knoten kann man nicht auf X+1 Hochzeiten
tanzen, zumindest nicht auf 2^X.
Was also auch immer passiert: Es gibt nur aleph_0 verschiedene
Konfigurationen des binàren Baums in meiner Abzàhlung, damit kann es
nicht mehr als aleph_0 durch diese Konfigurationen unterscheidbare
unendliche Pfade geben.
RR: Gàbe es einen Knoten K0, der 0.000... zumacht und einen
solchen, der 0.111... zumacht, so muss doch die Frage erlaubt sein,
welcher dieser beiden Knoten zuerst erscheint in der Aufzàhlung aller
Pfade. Und wenn das geklàrt ist, kommt gleich die Frage nach dem Wert
des Knotens, der 0.10101010... zumacht.
WM: Es gibt weder einen Knoten, der 0.000... zumacht, noch einen,
der 0,111... zumacht, weil es überhaupt nichts gibt, was zumacht und
damit {1} U {1, 2} U ... = |N falsch ist, wenn man es aktual
interpretiert, also als "zugemacht".
Die potentielle Interpretation bleibt richtig, aber da wird eben
nichts zugemacht, weder Pfade noch der ganze Baum noch die Menge |N.
Das war ja Cantors großer Fehler, die Unendlichkeit als vollendet
anzunehmen.
Wichtig ist: Es gibt keine unendlich langen Dezimalentwicklungen,
die eine reelle Zahl x identifizieren, denn bis zu jeder Ziffer gibt
es eine Zahl y, die damit übereinstimmt. Und mehr als jede Ziffer ist
nicht möglich.
Für alle reellen Zahlen =/= P kann man zeigen, dass sie nicht mit P
identisch sind und ihre Pfade also auch unendlich viele Knoten
besitzen, und zwar untehalb der Gürtellinie, die von denen von P
verschieden sind.
RR: Hast Du das auch einfacher? "Zwei verschiedene reelle Zahlen
unterscheiden sich an mindestens einer Dezimalstelle." Wieso müssen
sie sich an unendlich vielen Stellen unterscheiden?
WM: Weil nach jeder noch unendlich viele folgen.
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik, 9. -
11. 1. 2010]

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Michael Klemm
08/02/2012 - 20:47 | Warnen spam
WM wrote:

Die potentielle Interpretation bleibt richtig, ...



Gib mal ein Beispiel einer potentiell unendlichen Menge.

Gruß
Michael

Ähnliche fragen