Das Kalenderblatt 120214

13/02/2012 - 08:59 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120214


Der Binàre Baum ist eine geordnete Knotenmenge.
Ein Pfad ist eine geordnete unendliche Untermenge.
Er stellt eine reelle Zahl binàr dar.
Ein endlicher Anfangsabschnitt ist eine endliche Untermenge.
[WM: "Das Kalenderblatt 100328", de.sci.mathematik, 26. 4. 2010]

Immer wieder wurden Formalisierungen wie z. B. die folgenden gebracht,
die es indessen niemals zur Grundlage einer weiterführenden Diskussion
gebracht haben.

SG: 1.) U_{P e M} P = U_{K e B} K = B
4.) {B_1, B_2, ...} ist abzàhlbar.
5.) B = U_{k e N} B_k
7.) Für jeden unendlichen Pfad P e M gilt P c B.
8.) B ist abzàhlbar.
9.) Für keinen unendlichen Pfad P e M gibt es ein B_k e
{B_1, B_2, ...}.
10.) SUM[k in |N] N_k =< aleph_0.
WM: Wichtig wàre noch festzuhalten, dass B_k höchstens einen der
überabzàhlbar vielen unendlichen Pfade als Untermenge enthàlt, der
nicht schon im vorhergehenden B_(k-1) enthalten ist. Aber das folgt
selbstverstàndlich leicht aus (9). Und nun möchtest Du wissen, wie man
daraus auf
6.) M ist abzàhlbar
kommt. Dabei habe ich Dir doch schon mehr als einmal gesagt, dass man
daraus nicht auf "M ist abzàhlbar" kommt. Sondern ich sagte
B ist die Vereinigung aller B_k.
WENN M aber trotzdem überabzàhlbar ist und alle Elemente von M als
partiell disjunkte Untermengen in B sind, DANN kann auch die fehlende
Surjektion von der Menge aller natürlichen Zahlen auf die Menge aller
reellen Zahlen nicht als Nachweis der Überabzàhlbarkeit von |R
gewertet werden. Denn dann gibt es offenbar beim Übergang von allen
endlichen natürlichen Zahlen k zur Menge aller natürlichen Zahlen |N
keine Möglichkeit, das Einschwàrzen von einer Diagonalzahl (und sogar
überabzàhlbar vielen Pfaden) auszuschließen.
Dann ist in der unendlichen Vereinigung der einzelnen endlichen
Anfangsabschnitte offenbar mehr möglich als in der unendlichen Menge
der einzelnen endlichen Anfangsabschnitte - selbst wenn die Menge
durch Vereinigung zustande kommt.
[Stephan Gerlach, "Das Kalenderblatt 091206", de.sci.mathematik, 19.
2. 2010]

WM: B_1 U B_2 U B3 U ... U B_n U ... = B.
Dabei bezeichnen die Konfigurationen B_n die Anfangsabschnitte der
geordneten Knotenmenge des binàren Baums in der folgenden linearen
Ordnung
K_0
K_1 K_2
K_3 K_4 K_5 K_6
...
Beispiel: B_3 = {K_0, K_1, K_2, K_3} enthàlt die endlichen Pfade 0 und
0,0 und 0,1 und 0,00.
B: 1. Eine partielle Ordnung (T, <) heißt Baum, wenn für jedes x
aus T die Menge V(x) = {y e T| y < x} eine Wohlordnung ist. Ist M eine
Teilmenge von T, die (bzgl. <) maximal linear geordnet ist, so nennen
wir M einen Pfad (Ast, Zweig).
Bei dieser Definition hat der vollst. binàre Baum (B, <) nur Pfade,
die unendlich sind. Wenn man nun endliche Pfade betrachten will, dann
könnte man den Begriff "Teilpfad" definieren oder aber dazu übergehen,
Teilbàume von (B, <) zu betrachten, was Du ja im Wesentlichen durch
das Betrachten verschiedener Ebenen von (B, <) schon gemacht hast. Ich
nehme 'mal auf eines Deiner Beispiele Bezug:
Z.B. ist der Pfad {K_0} eine maximal linear geordnete Menge des
Baums ({K_0}, <); dieser ist ein Teilbaum von (B, <). Und der Pfad
{K_0, K_1, K_3} ist eine maximal linear geordnete Menge z.B. des
(Teil-)Baums ({K_0, K_1, K_3, K_4}, <) (von (B, <). Ganz allgemein
können wir nun einen Knoten x aus B hernehmen und von dem Pfad P(x) V(x) u {x} reden, wenn wir den Teilbaum (P(x), <) von (B, <)
betrachten oder zumindest einen Teilbaum von (B, <) betrachten, in dem
x ein /Blatt/ ist.
Deine Betrachtungsweise làsst sich also mit Hilfe von Teilbàumen
nachvollziehen. Und immer sind es diesbzgl. maximal linear geordnete
Mengen, d.h. hinsichtlich etwa eines "letzten Knotens" bei endlichen
Pfaden wird so ein Pfad durch alle seine Vorgànger identifiziert.
[Bobo, "Das Kalenderblatt 100125", de.sci.mathematik, 3. 2. 2010]

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
13/02/2012 - 10:54 | Warnen spam
Am 13.02.12 08:59, schrieb WM:
Immer wieder wurden Formalisierungen wie z. B. die folgenden gebracht,
die es indessen niemals zur Grundlage einer weiterführenden Diskussion
gebracht haben.



Das wundert wohl kaum, wenn Du darauf, wie auch hier wieder
dokumentiert, mit wirrem Gefasel reagierst.



Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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