Das Kalenderblatt 120220

19/02/2012 - 13:17 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120220

RR: Es ist ja gerade das Charakteristische an einer überabzàhlbaren
Menge, dass ihre Elemente eben nicht mit abzàhlbar vielen Namen
unterschieden werden können. Wieso muss man Dir eigentlich nach vielen
Jahren solche Basics erlàutern?
WM: Weil es das ebenso Charakteristische und für Zahlen noch viel
grundlegendere ist, dass man sie unterscheiden kann. Ununterscheidbare
Zahlen sind etwa so gut wie ununterscheidbare Unterscheidungsmerkmale.
RR: Überabzàhlbar viele Zahlen kann man nicht abzàhlen. Das ist die
Folgerung, mit der man seit Cantor zu leben hat.
WM: {{Damit hat nur zu leben, wer aus unerfindlichen Gründen
(Ungründen) Zermelos haltlose Behauptung glaubt, jede Menge könne
wohlgeordnet werden - im irreführenden Schafspelz des Auswahlaxioms
pràsentiert und notwendig einhergehend mit einer Sünde wider den
menschlichen Geist, der Annahme nàmlich, Es gàbe vollendete
Unendlichkeiten.}} Nein, es ist eine Folgerung, die Cantor selbst zum
Beispiel überhaupt nicht akzeptierte. {{Im Besonderen ist also auch
die Màchtigkeit des Linearcontinuums gleich einem bestimmten Alef.
Schon hieraus aber ergibt sich, daß das Linearcontinuum, aus seinem
Zusammenhang gerißen, in einem höheren Sinne abzàhlbar ist, d. h. als
wohlgeordnete Menge dargestellt werden kann. [Cantor an Hilbert, 26.
9. 1897]}} Es ist eine Folgerung, die sofort, als jemand sie erkannte
(ich möchte wirklich einmal wissen, wer dieser Esel war - anders kann
ich ihn nicht nennen), zu der Erkenntnis hàtte führen müssen, dass mit
Cantors Beweis etwas faul ist. Inzwischen ist wie in vielen Bereichen
so auch hier ein Abhàrtungseffekt eingetreten, und undefinierbare
Zahlen sind quasi selbstverstàndlich geworden. Aber früher war das
anders. Zahlen sind da, um die Wirklichkeit schàrfer aufzufassen.
Zahlen, die sich selbst nicht auffassen lassen, sind keine Zahlen.
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 100310", de.sci.mathematik, 6. -
9. 4. 2010]

Überabzàhlbare viele Zahlen dienen angeblich dazu, die Wirklichkeit zu
unterscheiden. Man kann aber nicht einmal diese Zahlen selbst
unterscheiden. Das ist doch ein fragwürdiges Verhàltnis.
[WM, "Das Kalenderblatt 100328", de.sci.mathematik, 9. 4. 2010]

GT: Ja, man macht den Fehler das Konzept von T(n) und T(oo)
einzueins auf T zu übetragen. Das funktioniert ja schon bei bijektiven
Abbildungen auf Teilmengen nicht.
WM: Bitte sage mir, was T und T(oo) von der Substanz der
Zahldarstellungen, nàmlich den Ziffern her, unterscheidet. Nichts!
GT: T(oo) ist also die Vereinigung der Pfade aller endlichen
Binàrbàume.
WM: Richtig! (Aber ebenso und gleichzeitig, aller Knoten.)
GT: Die verwendeten n-Tupel b implizieren eine direkte
Identifizierung mit endlichen Bitfolgen/Binàrzahlen der Gestalt
1.b2b3...bn, das wàren dann rationale Zahlen aus [1,2) mit endlicher
Binàrdarstellung. Und hier entwischen einem schon die rationalen
Zahlen, die eine periodische Binàrdarstellung haben.
WM: Nein. Denn der Baum T(oo) ist ja nirgends zu Ende. Welche
Ziffer einer rationalen Zahl sollte fehlen?
T enthàlt alle Knoten, also zu jedem einen nàchsten, ebenso wie
T(oo).
GT: Mit der oben verwendeten Abzàhlung der Knoten kann man làngs
eines unendlichen Pfades, der unendliche viele Knotennummern tragen
soll nicht arbeiten.
WM: Aber selbstverstàndlich kann man mit der Abzàhlung arbeiten.
Das ist ja gerade der Witz am Beweis. Gestatte bitte, dass ich
ausnahmsweise mit der 0 zu zàhlen beginne: Die Knoten des Baums
0
0 1
0 1 0 1
...
werden dann wie folgt nummeriert.
0
1 2
3 4 5 6
...
Der Pfad 0,000... besitzt demnach die Knoten mit den Nummern 0, 1,
3, 7, ... Dieser Pfad ist in T(oo) und in T. Falls Du skeptisch bist,
frage Dich bitte, welcher Knoten fehlt. Keiner.
GT: Wie man es dreht oder wendet, T ist ein Objekt, dass sich von
T(oo) unterscheidet.
WM: Nicht bezüglich der Knoten und, wie ich oben gezeigt habe,
nicht bezüglich irgendeines unendlichen Pfades.
GT: Solange man sich in der klassischen Mengenlehre bewegt und die
Konstruktion von T per Existenzaussage akzeptiert, ergibt sich KEIN
Widerspruch.
Der Widerspruch ergibt sich erst, indem von außen nicht zur
klassischen Mengenlehre gehörende Restriktionen hinzugenommen werden.
WM: Welche sollen das sein? Meine einzige Forderung ist, dass jede
reelle
Zahl eine Binàrdarstellung besitzt. Ohne diese Forderung versagt auch
Cantors Diagonalverfahren.
GT: Wenn die Existenz des aktual Unendlichen abgelehnt wird, ist
klar, dass es "nur" beliebig" lange Pfade gibt. Die sind automatisch
abzàhlbar und die "anderen" gibt es einfach nicht. So vermeidet man
Überabzàhlbarkeit. Dann brauchen wir aber auch gar nicht streiten.
Höchstens darüber, ob INNERHALB des Gebàudes der klassichen
Mengenlehre ein Widerspruch besteht. Innerhalb wird die Existenz des
aktual Unendlichen vorausgesetzt. So gelangt man zu Überabzàhlbarkeit
- ohne Widerspruch.
WM: Diese Aussage ist falsch und deshalb kann ich sie so nicht
unwidersprochen stehenlassen. Um das zu erkennen, muss man sich nur
klarmachen, dass bezüglich aller *Knoten* T = T(oo) ist. Und T(oo)
enthàlt absolut nichts Überabzàhlbares. Um also ins Überabzàhlbare zu
gelangen (a priori oder a posteriori ist dabei gleichgültig), bleibt
nichts anderes übrig, als den aktual unendlich langen Pfaden etwas
nicht durch Knoten Darstellbares zuzuschreiben.
Die transfinite Mengenlehre benötigt also solche "Seelen der Pfade"
- oder wie immer man das nennen möchte, was den Pfaden anzuhàngen ist.
Doch das Cantorsche Diagonalargument würde gegen diese Anhàngsel
vergebens kàmpfen.
Die transfinite Mengenlehre erfordert also im Binàren Baum etwas,
das ihren wichtigsten Beweis zunichte macht und seine Ergebnis
negiert. Und wegen dieser Inkonsequenz enthàlt die transfinite ML
einen Widerspruch.
GT: Solange Sie einem nicht klarmachen können, wie formal ihre
Konstruktion von T und T(oo) durch die Knoten aussieht und formal
daraus folgt, dass Gleichheit vorliegt,
WM: Wie ich schon sagte: Jede Informationsmethode ist
gleichberechtigt.
Es gibt Vertreter der Mengenlehre, die eine Formalisierung des Baums
für nicht möglich halten. Mich stört das wenig. Die von mir nun
zweimal gebrachte Konstruktion, Knoten für Knoten, ist eindeutig und
auch verstàndlich.
GT: T*:={f:IN->{0,1}, es gibt ein n aus IN, so dass f(i)=0 für alle
i>n}
T:={f:IN->{0,1}}
Nimmt man erst einmal an, dass die Definition die ich für T* und T
geliefert habe NICHT Binàrbàume darstellen sondern irgendwelche zwei
Mengen, würden Sie dann zu stimmen, dass T Elemente enthàlt, die nicht
in T* sind?
WM: Nein. Falls Sie anderer Meinung sind, so bitte ich um die
Angabe einer
Knotenfolge aus T, die nicht in T* enthalten ist - und zwar konkret!
(Also nicht in der Form 1/3 oder 1/pi, sondern um die Angabe *ab
welchem Knoten genau* einer dieser Pfade nicht in T* enthalten ist.)
GT: f(i)=1 wenn i prim
f(i)=0 wenn i nicht prim
Diese f ist nicht in T* aber in T.
WM: Welcher Knoten fehlt denn?
[GToeroe, "Das Kalenderblatt 100815", de.sci.mathematik, 25. - 31. 8.
2010]

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
20/02/2012 - 12:31 | Warnen spam
Am 19.02.2012 13:17, schrieb WM:


Das Kalenderblatt 120220

RR: Es ist ja gerade das Charakteristische an einer überabzàhlbaren
Menge, dass ihre Elemente eben nicht mit abzàhlbar vielen Namen
unterschieden werden können. Wieso muss man Dir eigentlich nach vielen
Jahren solche Basics erlàutern?
WM: Weil es das ebenso Charakteristische und für Zahlen noch viel
grundlegendere ist, dass man sie unterscheiden kann. Ununterscheidbare
Zahlen sind etwa so gut wie ununterscheidbare Unterscheidungsmerkmale.



Hallo WM,
Es steckt ja schon in der alten Mengen-Definition von Cantor, dass Mengen
nàmlich nur von wohlunterscheidbaren Objekten gebildet werden können. So
gesehen kann es natürlich keine Mengenlehre nicht-wohlunterscheidbarer Objekte
geben. Dass Ununterscheidbares nicht unterscheidbar ist dürfte per
definitionem zeitlos gelten - außer vielleicht in der von Dir so trefflich
benannten "Matheologie".

Rudolf Sponsel, Erlangen

RR: Überabzàhlbar viele Zahlen kann man nicht abzàhlen. Das ist die
Folgerung, mit der man seit Cantor zu leben hat.
WM: {{Damit hat nur zu leben, wer aus unerfindlichen Gründen
(Ungründen) Zermelos haltlose Behauptung glaubt, jede Menge könne
wohlgeordnet werden - im irreführenden Schafspelz des Auswahlaxioms
pràsentiert und notwendig einhergehend mit einer Sünde wider den
menschlichen Geist, der Annahme nàmlich, Es gàbe vollendete
Unendlichkeiten.}} Nein, es ist eine Folgerung, die Cantor selbst zum
Beispiel überhaupt nicht akzeptierte. {{Im Besonderen ist also auch
die Màchtigkeit des Linearcontinuums gleich einem bestimmten Alef.
Schon hieraus aber ergibt sich, daß das Linearcontinuum, aus seinem
Zusammenhang gerißen, in einem höheren Sinne abzàhlbar ist, d. h. als
wohlgeordnete Menge dargestellt werden kann. [Cantor an Hilbert, 26.
9. 1897]}} Es ist eine Folgerung, die sofort, als jemand sie erkannte
(ich möchte wirklich einmal wissen, wer dieser Esel war - anders kann
ich ihn nicht nennen), zu der Erkenntnis hàtte führen müssen, dass mit
Cantors Beweis etwas faul ist. Inzwischen ist wie in vielen Bereichen
so auch hier ein Abhàrtungseffekt eingetreten, und undefinierbare
Zahlen sind quasi selbstverstàndlich geworden. Aber früher war das
anders. Zahlen sind da, um die Wirklichkeit schàrfer aufzufassen.
Zahlen, die sich selbst nicht auffassen lassen, sind keine Zahlen.
[Rainer Rosenthal, "Das Kalenderblatt 100310", de.sci.mathematik, 6. -
9. 4. 2010]

Überabzàhlbare viele Zahlen dienen angeblich dazu, die Wirklichkeit zu
unterscheiden. Man kann aber nicht einmal diese Zahlen selbst
unterscheiden. Das ist doch ein fragwürdiges Verhàltnis.
[WM, "Das Kalenderblatt 100328", de.sci.mathematik, 9. 4. 2010]

GT: Ja, man macht den Fehler das Konzept von T(n) und T(oo)
einzueins auf T zu übetragen. Das funktioniert ja schon bei bijektiven
Abbildungen auf Teilmengen nicht.
WM: Bitte sage mir, was T und T(oo) von der Substanz der
Zahldarstellungen, nàmlich den Ziffern her, unterscheidet. Nichts!
GT: T(oo) ist also die Vereinigung der Pfade aller endlichen
Binàrbàume.
WM: Richtig! (Aber ebenso und gleichzeitig, aller Knoten.)
GT: Die verwendeten n-Tupel b implizieren eine direkte
Identifizierung mit endlichen Bitfolgen/Binàrzahlen der Gestalt
1.b2b3...bn, das wàren dann rationale Zahlen aus [1,2) mit endlicher
Binàrdarstellung. Und hier entwischen einem schon die rationalen
Zahlen, die eine periodische Binàrdarstellung haben.
WM: Nein. Denn der Baum T(oo) ist ja nirgends zu Ende. Welche
Ziffer einer rationalen Zahl sollte fehlen?
T enthàlt alle Knoten, also zu jedem einen nàchsten, ebenso wie
T(oo).
GT: Mit der oben verwendeten Abzàhlung der Knoten kann man làngs
eines unendlichen Pfades, der unendliche viele Knotennummern tragen
soll nicht arbeiten.
WM: Aber selbstverstàndlich kann man mit der Abzàhlung arbeiten.
Das ist ja gerade der Witz am Beweis. Gestatte bitte, dass ich
ausnahmsweise mit der 0 zu zàhlen beginne: Die Knoten des Baums
0
0 1
0 1 0 1
...
werden dann wie folgt nummeriert.
0
1 2
3 4 5 6
...
Der Pfad 0,000... besitzt demnach die Knoten mit den Nummern 0, 1,
3, 7, ... Dieser Pfad ist in T(oo) und in T. Falls Du skeptisch bist,
frage Dich bitte, welcher Knoten fehlt. Keiner.
GT: Wie man es dreht oder wendet, T ist ein Objekt, dass sich von
T(oo) unterscheidet.
WM: Nicht bezüglich der Knoten und, wie ich oben gezeigt habe,
nicht bezüglich irgendeines unendlichen Pfades.
GT: Solange man sich in der klassischen Mengenlehre bewegt und die
Konstruktion von T per Existenzaussage akzeptiert, ergibt sich KEIN
Widerspruch.
Der Widerspruch ergibt sich erst, indem von außen nicht zur
klassischen Mengenlehre gehörende Restriktionen hinzugenommen werden.
WM: Welche sollen das sein? Meine einzige Forderung ist, dass jede
reelle
Zahl eine Binàrdarstellung besitzt. Ohne diese Forderung versagt auch
Cantors Diagonalverfahren.
GT: Wenn die Existenz des aktual Unendlichen abgelehnt wird, ist
klar, dass es "nur" beliebig" lange Pfade gibt. Die sind automatisch
abzàhlbar und die "anderen" gibt es einfach nicht. So vermeidet man
Überabzàhlbarkeit. Dann brauchen wir aber auch gar nicht streiten.
Höchstens darüber, ob INNERHALB des Gebàudes der klassichen
Mengenlehre ein Widerspruch besteht. Innerhalb wird die Existenz des
aktual Unendlichen vorausgesetzt. So gelangt man zu Überabzàhlbarkeit
- ohne Widerspruch.
WM: Diese Aussage ist falsch und deshalb kann ich sie so nicht
unwidersprochen stehenlassen. Um das zu erkennen, muss man sich nur
klarmachen, dass bezüglich aller *Knoten* T = T(oo) ist. Und T(oo)
enthàlt absolut nichts Überabzàhlbares. Um also ins Überabzàhlbare zu
gelangen (a priori oder a posteriori ist dabei gleichgültig), bleibt
nichts anderes übrig, als den aktual unendlich langen Pfaden etwas
nicht durch Knoten Darstellbares zuzuschreiben.
Die transfinite Mengenlehre benötigt also solche "Seelen der Pfade"
- oder wie immer man das nennen möchte, was den Pfaden anzuhàngen ist.
Doch das Cantorsche Diagonalargument würde gegen diese Anhàngsel
vergebens kàmpfen.
Die transfinite Mengenlehre erfordert also im Binàren Baum etwas,
das ihren wichtigsten Beweis zunichte macht und seine Ergebnis
negiert. Und wegen dieser Inkonsequenz enthàlt die transfinite ML
einen Widerspruch.
GT: Solange Sie einem nicht klarmachen können, wie formal ihre
Konstruktion von T und T(oo) durch die Knoten aussieht und formal
daraus folgt, dass Gleichheit vorliegt,
WM: Wie ich schon sagte: Jede Informationsmethode ist
gleichberechtigt.
Es gibt Vertreter der Mengenlehre, die eine Formalisierung des Baums
für nicht möglich halten. Mich stört das wenig. Die von mir nun
zweimal gebrachte Konstruktion, Knoten für Knoten, ist eindeutig und
auch verstàndlich.
GT: T*:={f:IN->{0,1}, es gibt ein n aus IN, so dass f(i)=0 für alle
i>n}
T:={f:IN->{0,1}}
Nimmt man erst einmal an, dass die Definition die ich für T* und T
geliefert habe NICHT Binàrbàume darstellen sondern irgendwelche zwei
Mengen, würden Sie dann zu stimmen, dass T Elemente enthàlt, die nicht
in T* sind?
WM: Nein. Falls Sie anderer Meinung sind, so bitte ich um die
Angabe einer
Knotenfolge aus T, die nicht in T* enthalten ist - und zwar konkret!
(Also nicht in der Form 1/3 oder 1/pi, sondern um die Angabe *ab
welchem Knoten genau* einer dieser Pfade nicht in T* enthalten ist.)
GT: f(i)=1 wenn i prim
f(i)=0 wenn i nicht prim
Diese f ist nicht in T* aber in T.
WM: Welcher Knoten fehlt denn?
[GToeroe, "Das Kalenderblatt 100815", de.sci.mathematik, 25. - 31. 8.
2010]

Gruß, WM

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