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Das Kalenderblatt 120225

24/02/2012 - 11:23 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120225

{{Im Spiel "Wir erobern den Binàren Baum" wird durch jeden Knoten ein
unendlicher Pfad gelegt, insgesamt abzàhlbar unendlich viele. Obwohl
kein weiterer Knoten mehr verfügbar ist, bezweifeln manche, dass der
so konstruierte Binàre Baum vollstàndig ist.}}
WM: Somit müsstest Du nur noch sagen, was an einem Pfad fehlen
kann, wenn alle seine Knoten da sind, oder wie es sein kann, dass eine
Pfad fehlt, wenn alle seine Knoten da sind, oder was wir noch tun
könnten, um einen Pfad in den Baum zu bringen, der noch nicht drin
ist, obwohl alle seine Knoten drin sind.
RR: Die Pfade sind ja da, und es fehlt ihnen auch an nichts.
RB: Da der Baum in einer leicht ersichtlichen Weise aus abzàhlbar
unendlich vielen Teilen besteht, kann man ihn auch in entsprechendem
Sinne in abzàhlbar vielen Schritten, in denen jeweils ein Teil
angefügt wird, "konstruieren". Die Pfade des Baums sind damit nicht
"konstruiert".
WM: Also Baum konstruiert, Pfade nicht. Es scheint, dass sie
irgendwie über den unendlichen Baum hinausragen, so wie jemand mit
einem zu kurzen Bett die Füße herausstreckt. Das omegate Element, die
dunkle Materie der Mathematik, die Seelen der Pfade. May we not call
them the ghosts of departed quantities? (nach George Berkeley)
BE: Die Pfade sind da. Sie warten nur noch drauf abgezàhlt zu
werden.
WM: Eine weitere Stimme für diese Position, die ich übrigens auch
einnehme.
Nach Konstruktion sind sie da, vor Konstruktion war nichts da. Ergo
sind sie in einem oder mehreren der abzàhlbar vielen
Konstruktionsschritte konstruiert worden, das heißt, aus dem nur
Sosein ins Dasein gerufen, erweckt worden.
In welchen Schritten wurden wohl mehr als ein unendlicher Pfad
fertig?
BE: Gegenfrage: In welchem Schritt wurde wohl ein einziger
unendlicher Pfad fertig?
WM: Diese Frage sollte derjenigen beantworten, der behauptet, es
gàbe diese Pfade im fertig konstruierten Baum. Ich benutze diese
Pràmisse nur, um sie zum Widerspruch zu führen.
BE: Und zum Aufwàrmen für die obige Aufgabe: Ab welchem n steht der
Grenzwert einer Folge fest?
WM: Dieser Grenzwert steht niemals fest, also gibt es ihn nicht. Es
sei denn, die Folge wàre durch ein endliches Bildungsgesetz definiert,
gehörte also zu einer abzàhlbaren Menge von Folgen.
Du behauptest, dass alle aktual unendlichen Pfade im fertigen,
aktual unendlichen Baum seien. Zumindest Dein alter Ego behauptet das.
Nun finde den Punkt, wo sie eingezogen sind. (Vielleicht wàre es
hilfreich, die Meditation musikalisch mit dem Einzug der Götter aus
Wagners Rheingold zu untermalen.)
BE: Ich muss den Baum nicht "konstruieren". Der Baum hat einen
Wurzelknoten und jeder Knoten hat zwei Kinder. Für mich _ist_ das der
Baum.
WM: Wenn Du hier mal auf den Bildschirm schaust, dann ist da
nichts.
.
.
.
Einverstanden?
Und jetzt wird der unendliche Binàre Baum hier konstruiert:
0,
/ \
0 1
/ \ / \
0 1 0 1
/
0 ...
Jetzt ist er hier entstanden. Jetzt ist er also hier da oder besser
vorhanden.
In jedem Schritt kommt ein endlicher Pfad hinzu. In keinem Schritt
kommt mehr als ein unendlicher Pfad hinzu, denn die unendlichen Pfade
sind Grenzwerte von Folgen und eine Folge kann per Definition nicht
mehr als einen Grenzwert besitzen, muss aber mindestens ein
Folgenglied besitzen. Folglich ist die insgesamt im Baum vorhandene
Menge von endlichen Pfaden abzàhlbar und die insgesamt im Baum
vorhandene Menge von unendlichen Pfaden höchstens abzàhlbar.
BE: Aber wie "konstruierst" du eingentlich den Baum. Was soll es
bedeuten, einen Pfad zu "konstruiert" haben?
WM: Siehe oben. Der Baum betsteht aus einer geordneten Knotenmenge.
Einige Untermengen bilden endliche Anfangsabschnitte von Pfaden,
andere bilden unendliche Pfade.
Man könnte den Baum auch anders konstruieren, so wie man Cantors
Abzàhlung der rationalen Zahlen auf verschiedene Weisen anstellen
kann. Aber ich finde, wenn von Anfang an eine geniale und einfache
Idee vorhanden ist, dann sollte man sich möglichst an das Original
halten.
BE: Ein ausgesprochen hübscher Fehlschluss.
Wie wàrs damit: In jedem Schritt kommt ein endlicher Pfad hinzu. In
keinem Schritt gibt es bereits einen unendlichen Pfad und es kommt
auch in keinem Schritt einer dazu. Folglich ist die Menge von
endlichen Pfaden abzàhlbar und die insgesamt im Baum vorhandene Menge
von unendlichen Pfaden höchstens Null.
WM: Vollkommen richtig. Nichts Vorhandenes ist unendlich. Das
Unendliche kann nur als nicht endender Prozess verstanden werden, der
naturgemàß nie zu einem Ende gelangt. Im Baum wàren
selbstverstàndnlich nur dann aktual unendliche Pfade, wenn es denn
solche irgendwo oder anderswo, zum Beispiel in Listendiagonalen,
gàbe.
Genau das ist es, was zu beweisen war. Weshalb dauerte es so lange,
bis der Groschen fiel?
1) |N ist die Vereinigung aller natürlichen Zahlen.
2) Jede abzàhlbare Menge kann konstruiert werden (s. Cantors Beweis
der Abzàhlbarkeit von |Q) ohne aktual ins Unendliche vorzustoßen.
3) Der vollstàndige Binàre Baum besitzt nur abzàhlbar viele Knoten,
kann also konstruiert werden.
4) Nach Konstruktion sind alle unendlichen Pfade da.
5) Wenn die Pfade nur durch Knoten definiert sind, dann sind auch alle
Pfade da.
6) Jede Folge besitzt mindestens ein Glied.
7) Keine Folge besitzt mehr als einen Grenzwert.
MK: Ob im Endlichen oder Unendlichen, Dein Fehler ist der gleiche,
nàmlich dass Du in unzulàssiger Weise von der Kardinalzahl einer
Grundmenge auf die Kardinalzahl einer hieraus abgeleiteten Menge
schließt.
WM: {{Ich beweise, dass niemand mit Hilfe von Knoten einen
unendlichen Pfad identifizieren kann. Wenn es "unzulàssig" ist, daraus
auf die Kardinalzahl 0 der identifizierbaren unendlichen Pfade zu
schließen, was ist dann "zulàssig"?}} Denn es wird überhaupt kein
einziger Pfad "fertig" und auch nicht die Diagonalzahl. - Das ist das
ganze Geheimnis.
[Rainer Rosenthal, Ralf Bader, Bastian Erdnüß, Michael Klemm,"Das
Kalenderblatt 100428", de.sci.mathematik, 12. 5. 2010]

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
24/02/2012 - 13:05 | Warnen spam
WM wrote:

{{Im Spiel "Wir erobern den Binàren Baum" wird durch jeden Knoten ein
unendlicher Pfad gelegt, insgesamt abzàhlbar unendlich viele. Obwohl
kein weiterer Knoten mehr verfügbar ist, bezweifeln manche, dass der
so konstruierte Binàre Baum vollstàndig ist.}}



Machen wir das mal mit Cantors RL-Folgen
(R = rechts, L = links).
Jedem Knoten des BBs ist umkehrbar eindeutig
die endliche RL-Folge zugeordnet, die von der
Wurzel zu ihm führt. Die Aufgabe besteht nun darin,
jede endliche RL-Folge so zu einer unendliche RL-Folge
(einem unendlichen Pfad) zu erweitern, dass keine dieser
Erweiterungsfolgen doppelt vorkommt.
Ich mache das jetzt mal so:
Hat die endliche RL-Folge AB...N die Gestalt R...R,
so sei die Fortsetzungsfolge AB...NLLL..., andernfalls
sei sie AB...NRLLL...
Ersichtlich erhàlt man auf diese Weise nur solche unendlichen
Pfade, die bis auf endlich viele Ausnahmen immer nach links gehen.

Gruß
Michael

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