Das Kalenderblatt 120226

25/02/2012 - 12:22 von WM | Report spam
Das Kalenderblatt 120226

WM: Über den Unterschied der Beweise von Cantor und von mir.
Cantor teilt die Menge aller reellen Zahlen aus dem Intervall [0,
1] in eine abzàhlbare Menge A und den Rest R.
Die Menge A wird in Form einer Folge vulgo Liste angeordnet und
eine Diagonalzahl erzeugt, so dass sich jede Ziffer der Diagonalzahl
von der entsprechenden Ziffer der Zeilenzahl unterscheidet. Cantor
zeigt also für jedes n in |N, dass der endliche Anfangsabschnitt der
Diagonalzahl nicht mit dem endlichen Anfangsabschnitt einer der ersten
n Zahlen aus A übereinstimmt, oder, was auf dasselbe hinauslàuft:
Cantor zeigt, dass jeder endliche Anfangsabschnitt der Diagonalzahl
mit dem endlichen Anfangsabschnitt einer der Zahlen aus R (oder einer
er noch folgenden Zahlen aus A) übereinstimmt.
Aus dem Beweis für alle endlichen Anfangsabschnitte wird
geschlossen, dass alle in A noch folgenden Zahlen ausgeschlossen
werden können und die ganze Diagonalzahl in R ist.
Ich stelle alle reellen Zahlen aus dem Intervall [0, 1] als Pfade
im Binàren Baum dar. Ich teile die Menge aller Pfade in eine
abzàhlbare Menge A und den Rest R.
Die Menge A wird benutzt, um alle Knoten des Binàren Baums zu
überdecken. Mit jedem seiner Knoten wird zwangslàufig auch jeder
endliche Anfangsabschnitt jedes Pfades überdeckt. Ich zeige also, dass
jeder endliche Anfangsabschnitt jedes Pfades mit dem endlichen
Anfangsabschnitt eines der Pfade aus A übereinstimmt.
Aus dem Beweis für alle endlichen Anfangsabschnitte jedes Pfades
wird aber hier nicht geschlossen, dass jeder ganze Pfad in A (und
damit die Menge R leer) ist.
KS: Das ist die kohàrenteste Darstellung deines Standpunktes, die
ich bisher
gesehen habe. Ich habe aber Verbesserungsvorschlàge:
Die Vergleichbarkeit beider Argumente kann man bereits deshalb
anzweifeln, weil du die Rollen von A und R vertauscht. Die Annahmen an
A und R sind aber nicht gleich: A ist abzàhlbar und R unterliegt
keinerlei weiteren Einschrànkungen. Das mag vielleicht rettbar sein,
erfordert aber zumindest noch weitere Erklàrung deinerseits.
WM: Meine Erklàrung ist die folgende: Wenn über die Untersuchung
aller endlich indizierten Stellen einer Zahl festgestellt /werden
kann/, dass sie zu einer Zahlenmenge gehört (oder nicht gehört), dann
muss dieses Kriterium unabhàngig davon sein, welche Kardinalzahl die
betreffende Menge besitzt.
KS: Entscheidender ist aber, dass du Cantor's Argument noch einmal
negierst, um die Analogie mit deinem Argument hervorzustellen, etwas
was meines Wissens von Cantor (oder spàteren Verbesserungen) nicht
gemacht wurde.
WM: Du meinst, dass ich nicht das Fehlen der Diagonalzahl d in der
Liste betone, sondern die Zugehörigkeit der Diagonalzahl zum Rest? Ja,
das habe ich auch noch nirgendwo gesehen, aber es schien mir nötig,
um, wie Du sagst, die Analogie herzustellen. Wenn |R existiert und d
nicht in der Liste ist, dann ist das Komplement der Liste |R\A = R der
einzig mögliche und gleichzeitig der notwendige Aufenthaltsort der
Diagonalzahl d.
Dass die Diagonalzahl auch im bei Zeile n noch ungeprüften Ende der
Liste stecken könnte, ist eher ein Nachteil von Cantors Argument und
beschàdigt die Parallelitàt mit meinem etwas. Doch das benutze ich gar
nicht. Ich akzeptiere die gleichzeitige Prüfung aller Stellen.
Wollte ich es benutzen, dann würde ich darauf hinweisen, dass die
Knoten für Knoten durchgeführte schrittweise Konstruktion des binàren
Baums bis zu jedem endlichen Schritt n keinen einzigen unendlichen
Pfad liefert, schließlich aber doch alle unendlichen Pfade da sind.
KS: Die Negation ist zwar lokal korrekt von dir durchgeführt
worden, aber die Folgerung, die du dann ziehst, gilt nur unter
weiteren Voraussetzungen, die bei Cantor gelten, von dir in deinem
Argument aber komplett ignoriert werden {{eine nàhere Erlàuterung
dieser ominösen Voraussetzungen und warum sie bei Cantor "gelten"
erfolgte nicht}} - und das ist genau der Grund, warum es hier so
ausschweifende Diskussionen über deine Argumentation gibt.
WM: Welche weiteren Voraussetzungen meinst Du? Ich kenne nur die
Eine: Die Diagonalzahl unterscheidet sich von jeder Zeilenzahl mit
endlichem Index n an einer Stelle (a_nn) und daraus schließen wir,
dass sie sich von allen unendlich viele Zeilenzahlen unterscheidet,
also an allen Stellen mit einer in R vorhandenen Zahl
übereinstimmen muss.
Dieser Schluss von jedem endlichen Abschnitt auf die unendliche
Menge ist der Stolperstein. Aber ich möchte nicht allein darüber
stolpern. Deshalb weise ich immer wieder darauf hin, dass der Pfad
0,111... nichts weiter ist als die Vereinigung aller endlichen Pfade,
und deswegen auch nicht mehr Einsen enthalten kann, als jeder der
endlichen Pfade (denn die Vereinigung endlicher Pfade ist ein
endlicher Pfad).
KS: Versuch's doch mal umgekehrt: formulier mal dein Argument über
Gleichheit der Anfangsabschnitte in A als Ungleichheit der
Anfangsabschnitte im Rest R.
WM: Wie das? Mein Argument zeigt, dass der Rest leer ist. Der Rest,
das sind Zahlen wie 0,111..., die überhaupt nicht anders darstellbar
sind, als durch die Folge ihrer Anfangsabschnitte. Deswegen können
sich die Anfangsabschnitte nicht alle von der Zahl 0,111...
unterscheiden. Sie /sind/ die Zahl. Das Problem ist ja, dass die
Existenz dieser Zahl als von der Folge aller endlichen
Abfangsabschnitte verschieden /vorausgesetzt/ wird, aber in
vollendeter Inkonsequenz kein Beleg für diese Verschiedenheit
existiert (außer dem "fehlenden Ende").
Ich bin aber nicht in der Lage, klarzumachen, dass die aktual
unendliche Vereinigung endlicher Abschnitte eine contradictio in
adiecto darstellt. Deshalb muss ich das Problem anders umschiffen. Und
deshalb habe ich schon von Anfang an unendliche Pfade eingesetzt.
[Kruno Sever, "Das Kalenderblatt 100328", de.sci.mathematik, 27. 3.
2010]

JR: Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms ist card(2^M) > card(M)
beweisbar.
[Jürgen R., "Neue Erkenntnisse aus Augsburg: wesentliche
Fortschritte?", de.sci. mathematik, 23. 9. 2010]

SN: Da Du aber erstens Dich immer wieder an Cantor aufhàngst, statt
Dir die Mühe zu machen, moderne, sauber pràdikatenlogisch hergeleitete
Beweise zu analysieren und dort ebenso sauber formal-logische Fehler
aufzuzeigen
[Stefan Nobis, "Definition der Reellen Zahlen?", de.sci.mathematik,
11. 5. 2011]

Antwort zu beiden: Ich will mit dem Binàren Baum keinen Fehler in den
vorliegenden Beweisen der Mengenlehre aufzeigen, sondern, sofern sie
als Grundlage der Mathematik angesehen wird, auf deren Inkonsistenz
hinweisen. Dazu genügt es, im Rahmen der Mathematik das Gegenteil
einer mengentheoretischen Aussage zu beweisen.

Gruß, WM
 

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#1 Michael Klemm
26/02/2012 - 09:48 | Warnen spam
WM wrote.

Cantor teilt die Menge aller reellen Zahlen
aus dem Intervall [0,1] in eine abzàhlbare Menge A und den Rest R.



Was sollen diese völlig unbelegten Behauptungen?

Gruß
Michael

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