Das Kalenderblatt 120318

17/03/2012 - 09:27 von WM | Report spam
Hat es schon Schwierigkeiten, die aktual-unendliche, ganzheitliche Menge "aller" natürlichen Zahlen zu denken, obgleich deren Folge nicht vollendet ist und es keine letzte Zahl gibt, so vermehren sich diese Schwierigkeiten noch gewaltig, wenn gefordert wird, eine Zahl zu denken, die der end/losen/ Folge nachfolgt, und die /größer/ sein soll als /jede/ natürliche Zahl, obgleich es keine /größte/ natürliche Zahl gibt. [...]
Die Zahl omega soll in engsten Beziehungen zu der Reihe der natürlichen Zahlen stehen. Sie bildet ein weiteres Glied der verallgemeinerten Zahlenreihe; ein erstes Glied einer Fortsetzung der Reihe jenseits der endlosen Folge aller natürlichen Zahlen. Daraus ergeben sich folgende Zufammenhànge zwischen den natürlichen Zahlen und der Zahl omega:
Die Zahl omega soll quantitativ vergleichbar sein mit den natürlichen Zahlen und soll insbesondere /größer/ sein, als jede von diesen. Sie muß daher ebenso wie diese einem "Inbegriff" von Elementen entsprechen (wie /Cantor/ es ausdrückte). Sie muß durch die Gesamtheit solcher Elemente /konstituiert/ sein. Ihr muß eine Ganzheit zukommen, eine Allheit von Elementen, Eindeutigkeit und Unendlichkeit. Gleichwohl kann sie in der aktual-unendlichen Reihe der natürlichen Zahlen selbst nicht vorkommen, sondern nur als Nachfolger der "/ganzen/" Folge. [...]
Die Zahl omega [...] ist aber von /jedem/ ihrer Vorgànger /durch unendlich viele Zwischenglieder/ getrennt. In der ganzen ihr vorausgehenden Zahlenmenge jedoch /gibt es nicht/ zwei Glieder, die durch eine unendliche Menge von Zwischengliedern getrennt wàren; es gibt vielmehr ausschließlich /endliche/ Mengen von Zwischengliedern. Das ist ein Zusammenhang, der nicht nur über das menschliche Vorstellungsvermögen, sondern auch über das /verstandes/màßige Fassungsvermögen hinausgeht.
Die Mengenlehre hàlt diese Aussagen für logisch zulàssig, obgleich sie anerkennt, daß ein solcher Unendlichkeitesbegriff etwas ist, das sich "nirgends realisiert findet"; etwas, das "weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmàßigen Denken zulàssig ist". (Hilbert) [...]
Es entsteht die Frage, ob bei einer transfiniten Zahl omega + n der Wert n auch negativ sein darf. An und für sich hàtte einen "Rückwàrtszàhlung" von der Form omega - 1, omega - 2, ... die gleich logische Berechtigung, wie die Folge omega + 1, omega + 2, ... Ließe man aber Vorgànger von omega zu [...]; sie müßten vielmehr bereits der transfiniten Zahlenklasse angehören.
Die Zahl omega würde dann in einem nicht eindeutig definierten Verhàltnis zu der Reihe der natürlichen Zahlen stehen [...] {{Deshalb erhàlt man eine Ventilwirkung. Zwar kann man laut Hilbert ganz bequem über das Unendliche hinauszàhlen, doch der Rückweg ist und bleibt versperrt, außer bei der vermeintlichen Anwendung der Mengenlehre im Falle von Goodsteinfolgen (s. KB 091028).}}
Das potentiale und das aktuale Unendliche /nebeneinander/ anzuwenden, ist keinesfalls angàngig.
/Entweder/ ist die Menge omega ein abgeschlossenes Ganzes, das /alle/ möglichen Elemente nicht nur "potential", sondern wirklich, "aktual" enthàlt; dann umfaßt /M_1/ = 2^omega {{Fischer realisiert 2^omega durch die Menge aller endlichen Teilmengen der Primzahlmenge}} auch die aktual-unendliche Teilmengen.
/Oder/ die Menge omega ist nur /potential/-unendlich, d. h. die Folge der Faktoren 2 ist keine ganzheitliche Menge, sie kann über jede endliche Schranke hinaus fortsetz/bar/ gedacht werden. Dann gibt es also in Wirklichkeit nur eine endliche, aber beliebig groß denkbare Menge. Dann gibt es überhaupt keine aktual-unendlichen Teilmengen der
Primzahlmenge, wohl aber darf man eine endliche Teilmenge "beliebig groß" annehmen.
Für eines von beiden muß man sich entscheiden. Mit zweierlei Maß zu messen, ist weder angàngig, noch geeignet, den bestehenden Widerspruch in der Bewertung der unendlichen Potenz zu beseitigen. [...]
Es ist nicht angàngig, für die Menge der Primzahlen die Existenz "aller" zu behaupten, dagegen für die Menge der Teilmengen in der Teilmengen-Abzàhlfolge die Existenz aller abzulehnen. Das wàre ein Widerspruch - nicht nur eine "Schwierigkeit", die man überwinden kann. Über den Widerspruch kommt man weder durch ein Dekret hinweg, noch dadurch, daß man das Unendliche mit zweierlei Maß mißt.
[L. Fischer: "Die unabzàhlbare Menge", Meiner, Leipzig (1942), pp. 5-16]

Doch, leider ist es in der Matheologie der Brauch und sogar unabdingbar, mit zweierlei Maß zu messen, denn andernfalls schwindet auch jeder intellektuelle Reiz an der ohnehin und aus gutem Grund völlig anwendungslosen transfiniten Mengenlehre. Die Einseitigkeit ist es ja gerade, die der Rezensent (s. KB120317) gerügt hat. Die Menge M_1 aller endlichen Teilmengen T der Primzahlen genügt ihm nicht. Was zu tun wàre, um die unendlichen Teilmengen hinzuzufügen, wüsste er natürlich auch nicht zu sagen, denn alle Primzahlen sind ja in den endlichen Mengen T von M_1 schon da. Zwar kann man zu jeder endlichen Teilmenge T weitere Primzahlen hinzufügen, die in T noch nicht enthalten waren. Aber dadurch erhàlt man immer nur eine Menge T', die in M_1 bereits vorher als Element vorhanden war. Deswegen unterscheidet sich die von Fischer konstruierte Menge M_2, die Menge /aller/ Teilmengen der Primzahlmenge mit der Kardinalzahl 2^aleph_0, von M_1 (mit der Kardinalzahl aleph_0) nur durch Zaubersprüche wie "alle ungeraden Primzahlen" oder "alle Primzahlen größer als 2" von M_1, nicht aber durch konkret angebbare Primzahlen. Doch selbst der größte Mengenmagier kennt nicht mehr als aleph_0 Zahlenzaubersprüche.

Noch etwas deutlicher wir das Dilemma hier:

Die unendliche Liste aller endenden Binàrbrüche des Einheitsintervalls ist abzàhlbar.
0,0
0,1
0,00
0,01
0,10
0,11
0,000
...
Werden die Binàrbrüche aber als endliche Pfade zum Binàren Baum zusammegefügt, so enstehen wie durch Zauberhand und ohne die Möglichkeit einer Erklàrung (selbst der Rezensent müsste hier scheitern) alle überabzàhlbar vielen unendlichen Pfade des Binàren Baums.

Es ist ein Zaubertrick vonnöten - derselbe Zaubertrick, der die unvollstàndige Folge der unvollstàndigen Anfangsabschnitte natürlicher Zahlen zur vollstàndigen Folge /aller/ unvollstàndigen Anfangsabschnitte natürlichen Zahlen vervollstàndigt, ohne dafür eines vollstàndigen Anfangsabschnittes zu bedürfen.

Gruß, WM
 

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#1 netzweltler
17/03/2012 - 10:57 | Warnen spam
On 17 Mrz., 09:27, WM wrote:
Hat es schon Schwierigkeiten, die aktual-unendliche, ganzheitliche Menge "aller" natürlichen Zahlen zu denken, obgleich deren Folge nicht vollendet ist und es keine letzte Zahl gibt, so vermehren sich diese Schwierigkeiten noch gewaltig, wenn gefordert wird, eine Zahl zu denken, die der end/losen/ Folge nachfolgt, und die /größer/ sein soll als /jede/ natürliche Zahl, obgleich es keine /größte/ natürliche Zahl gibt. [...]



Ist es falsch sich vorzustellen, dass ich im Einheitsintervall die
Punkte 0,5, 0,75, 0,875, ... abzàhlen kann, ich dadurch aber den Punkt
1,0 in dieser Reihe nicht erreichen werde? Dennoch ist 1,0 mit den
vorherigen Zahlen in seiner Größe vergeichbar.

netzweltler

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