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Das Kalenderblatt 120405

04/04/2012 - 08:47 von WM | Report spam
Mengenfolgen und Supertasks (2)

Die Cantorsche Abzàhlung der Brüche ist eine Supertask, ebenso wie die Summation aller natürlichen Zahlen oder aller Zahlenpaare m + n. Natürlich kann man bis zu jeder gewünschten Zahl addieren. Aber nicht alle! Denn nach jeder Summation kommt nochmal so viel, das man nicht summiert hat. Und wenn man es doch summiert hat, dann kommt nochmal so viel und mehr - nàmlich immer noch unendlich viel.

Der Unterschied zu summierbaren Reihen liegt darin, dass letztere konvergieren. Man kann für keine unendliche Reihe alle Glieder summieren, aber man kann zeigen, dass die noch verbleibenden unendlich vielen Glieder einen Fehler verursachen, der beliebig klein wird. Derartiges kann man für die divergente harmonische Reihe nicht ausrechnen. Und ganz genau so ist es mit der Cantorschen Abzàhlung. Die Zickzack-Nummerierung zeigt, dass zu jedem Dreieck nummerierter Brüche ein Dreieck mit noch nicht nummerierten Brüchen vorhanden ist, in dem keine der Zàhler- und Nennerzahlen die bereits verwendeten übertrifft:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), ...
(2, 1), (2, 2), (2, 3), ...
(3, 1), (3, 2), (3, 3), ...
... ,
ganz abgesehen von den unendlich vielen noch folgenden Zahlenpaaren.

Eine derartige Abzàhlung benutzte auch Cauchy (lange vor Cantor) für den Beweis der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Aber im Unterschied zu den rationalen Zahlen, die alle gleichberechtigt sind, deren Bedeutung für den Zàhlprozess also nicht abnimmt, geht es bei Cauchy um eine Summe und jeder Summand enthàlt die Faktoren 1/n! und 1/m!. Deshalb spielt der Rest, also das prinzipiell nicht abzàhlbare untere Dreieck, keine tragende Rolle. So wie Cantor sich das dachte, funktioniert es leider nicht. Und es gibt es noch einen anderen Grund dafür.

Liegt die vollstàndige Abzàhlung der rationalen Zahlen aus dem Einheitsintervall erst einmal vollstàndig vor, so dass die Position *jeder* Zahl bestimmt ist,

1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 1/5, 1/6, 2/5, 3/4, 1/7, ...

dann können die aufeinander folgenden Zahlen zu Paaren zusammengefasst und so geordnet werden, dass jeweils der kleinere Partner an die erste Stelle gelangt. Für jedes Paar ist diese Entscheidung mit derselben Sicherheit und derselben Automatisierbarkeit möglich wie die ursprüngliche Nummerierung:

(1/3, 1/2), (1/4, 2/3), (1/6, 1/5), (2/5, 3/4), (1/7, ...

Nun fassen wir die Zahlen mit Ausnahme der ersten zu Paaren zusammen und ordnen sie wiederum so, dass jeweils der kleinere Partner an die erste Stelle gelangt. Das ergibt die Folge

1/3, (1/4, 1/2), (1/6, 2/3), (1/5, 2/5), (1/7, 3/4), ...

Als nàchstes bilden wir wieder Paare mit Einschluss der ersten Zahl und ordnen die Partner abermals so um, dass jeweils der kleinere Partner an die erste Stelle gelangt:

(1/4, 1/3), (1/6, 1/2), (1/5, 2/3), (1/7, 2/5), ...

Dann wiederholen wir dasselbe ohne die erste Zahl und dann wieder mit ihr. Fàhrt man auf diese Weise fort, so erhàlt man nach aleph_0 Permutationen mit jeweils aleph_0 Transpositionen die Folge der rationalen Zahlen des Einheitsintervalls nach Größe wohlgeordnet.

In jeder Permutation kann die Position jeder Zahl berechnet werden. Was unterscheidet diese Supertask von Cantors ursprünglicher, nàmlich der Konstruktion der Ausgangsfolge? Nichts Grundsàtzliches! Anstelle einer unendlichen Folge bilden die Permutationen nun eine unendliche Matrix. Anstelle von aleph_0 Gliedern einer Folge sind aleph_0*aleph_0 = aleph_0 Glieder einer Matrix angeordnet. Sind sie? Nein! Beides kann bis zu jedem beliebigen Grade getrieben werden, dennoch ist stets nur ein endlicher Teil der unendlichen Aufgabe bewàltigt. Jede endliche Teilmenge der rationalen Zahlen ist abzàhlbar und nach Größe anordbar - *die* rationalen Zahlen sind es nicht.

Gruß, WM
 

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#1 ....
05/04/2012 - 21:38 | Warnen spam
WM wrote in
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Mengenfolgen und Supertasks (2)

Die Cantorsche Abzàhlung der Brüche



Deine Platte ist kaputt. Die làuft seit Jahren in der gleichen Rille.



Anstatt Musik erklingt nur jàmmerliches Geleier.

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