Das Kalenderblatt 120416

15/04/2012 - 10:05 von WM | Report spam
Im Intervall [0, 1] gibt es abzàhlbar viele rationale Zahlen. Ein
Màntelchen der Größe 1/10^n um die n-te gelegt, bedeckt Intervalle vom
Maß 1/9. Abzàhlbar viele Intervalle vom Maß 8/9 bleiben als Komplement
übrig. Was liegt darin?
Liegt in jedem Intervall des Komplements nur eine irrationale Zahl?
Dann wàren die irrationalen Zahlen im Komplement abzàhlbar und man
könnte jede mit einem Màntelchen umgeben, so dass alle mit 1/9 bedeckt
wàren. 7/9 des Einheitsintervalls blieben völlig leer.
Liegen in jedem Intervall des Komplements mehrere irrationale
Zahlen?
Dann wàren mehrere irrationale Zahlen nicht durch rationale Zahlen
separiert. Das ist mathematisch ausgeschlossen.

Was ist die Lösung? Der Begriff Abzàhlbarkeit wird falsch
interpretiert. Zwar kann man jeder rationalen Zahl eine natürliche
Zahl zuordnen, doch bleiben nach jeder Zuordnung noch unendlich viele
nicht zugeordnete Zahlen beider Arten übrig. Man kann mit "jeder"
nicht "alle" ausschöpfen, sondern nur potentiell unendlich viele, also
eine zwar unbeschrànkte aber stets endliche Menge.

Die "Abzàhlung" ist eine Summenbildung über Einsen, wie Cantor es
selbst beschrieb: "Da aus jedem einzelnen Elemente, wenn man von
seiner Beschaffenheit absieht, eine 'Eins' wird, so ist die
Kardinalzahl selbst eine bestimmte aus lauter Einsen zusammengesetzte
Menge, die als intellektuelles Abbild oder Projektion der gegebenen
Menge in unserm Geiste Existenz hat." [Ernst Zermelo (Hrsg.): "Georg
Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen
Inhalts" Springer, Berlin (1932) p. 283] Der Umgang mit divergenten
Summen führt erfahrungsgemàß zuweilen zu Problemen - ganz sicher
jedenfalls in der vorliegenden Anwendung.

M: Das Diagonalargument von Cantor beweist, dass die Menge der
reellen Zahlen größer ist als die der rationalen Zahlen.
2 Artikel, nachzulesen unter
http://arxiv.org/pdf/math.GM/0305326
http://arxiv.org/pdf/math.GM/0305310
behaupten jetzt aber das Gegenteil bzw. stellen das ganze
Diagonalverfahren
in Frage.
Mich würde interessieren was ihr davon haltet.
Mir selbst erscheinen nàmlich bei Argumentationsketten (also von
Cantor und
von Mückenheim) schlüssig.
DM: "Proof 1 (based upon ordinary logic). If any pair of irrational
numbers is separated by at least one rational number, then every
second of all real numbers is a rational number."
Dieser Schluss ist falsch. Denn warum sollten zwei Irrationale Zahlen
nicht von ein und der selben rationalen Zahl separiert werden?
Weiter braucht man nicht zu lesen. {{Aber man sollte weiter
denken.}}
Drollig ist auch der Teil, wo fuer eine Liste der Natuerlichen
Zahlen eine Zahl N(n) gefunden wird, die unter den ersten n Zahlen in
der Liste nicht vorkommt ... auch das geht mit dem Diagonalargument
(ohne natuerlich zu implizieren, dass ebendiese Zahl
nicht auch spaeter in der Liste vorkommen kann {{genau so wie bei
Cantors Original übrigens}}). Dummerweise konvergieren diese N(n)
nicht gegen eine Natuerliche Zahl, wie es aber im Reellen der Fall
ist ... {{Wie es bei der Nummerierung der Folge "aller rationalen
Zahlen" aber nicht der Fall ist, denn dort konvergiert nichts - und
bei einer Folge von Diagonalziffern oder w-m-Symbolen auch nicht.}}
MK: Zwei Irrationale haben eine Rationale zwischen sich. Was ist an
der selb? Oder sollte es heißen "zwei Paare irrationaler Zahlen"? Dann
müssen aber die vier Irrationalen Zahlen mindestens drei rationale
zwischen sich haben. So hat er wohl gedacht.
DM: Ja, natuerlich, sorry. Das Problem bleibt, dass ebendiese drei
Trenner auch als Trenner von (ueberabzaehlbar) unendlich vielen
anderen 4-Tupeln reeller Zahlen dienen! {{Das Problem bleibt, dass
eben diese überabzàhlbar vielen irrationalen Zahlen nicht
identifizierbar sind ohne ebensoviele Trenner zwischen ihnen.}}
GH: Sie haben sogar unendlich viele zwischen sich. Von beiden
Sorten... Das macht ohnehin die ganze Argumentation kaputt, finde ich.
{{Finde ich nicht. Denn für jedes Paar irrationale Zahlen wird eine
rationale Zahl benötigt. Das ist eine Minimumbedingung und macht
Cantors ganzes Argument kaputt.}}
[Matthias, D. Müller, M. Kauffmann, Gottfried Helms, "Cantor
widerlegt?", de.sci.mathematik, 7.-18. 8. 2003]
https://groups.google.com/group/de....nk=nl&

Ist es verwunderlich, dass Matthias nie wieder eine Frage an die
Experten in dsm gestellt hat?

Gruß, WM
 

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#1 Jürgen R.
16/04/2012 - 16:45 | Warnen spam
"WM" schrieb im Newsbeitrag
news:
Im Intervall [0, 1] gibt es abzàhlbar viele rationale Zahlen. Ein
Màntelchen der Größe 1/10^n um die n-te gelegt, bedeckt Intervalle vom
Maß 1/9.



Falsch

Abzàhlbar viele Intervalle vom Maß 8/9 bleiben als Komplement
übrig.



Falsch

Was liegt darin?
Liegt in jedem Intervall des Komplements nur eine irrationale Zahl?
Dann wàren die irrationalen Zahlen im Komplement abzàhlbar und man
könnte jede mit einem Màntelchen umgeben, so dass alle mit 1/9 bedeckt
wàren. 7/9 des Einheitsintervalls blieben völlig leer.



Unsinn

Liegen in jedem Intervall des Komplements mehrere irrationale
Zahlen?
Dann wàren mehrere irrationale Zahlen nicht durch rationale Zahlen
separiert. Das ist mathematisch ausgeschlossen.

Was ist die Lösung? Der Begriff Abzàhlbarkeit wird falsch
interpretiert.



Unsinn.

Das Komplement der rationalen Zahlen enthàlt kein Intervall.

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