Das Kalenderblatt 120504

03/05/2012 - 09:54 von WM | Report spam
Potentiell versus aktual (1)

Wenn Du mit solchen Banalitàten wie, daß es unendlich viele endliche
(natürliche) Zahlen gibt, Probleme hast, würde ich ernsthaft über
einen Wechsel des Studienfachs nachdenken.
[Ralf Bader, "Beweis für die Abzàhlbarkeit von |R", de.sci.mathematik,
10.10.2008]
http://de.narkive.com/2008/10/10/14...von-r.html

Der Unterschied zwischen potentiell unendlich und aktual unendlich ist
für den Anfànger immer wieder eine Verstàndnishürde, für die
Beurteilung der transfiniten Mengenlehre aber von größter Bedeutung.
Die nàchsten Kalenderblàtter sollen helfen, diese Hürde zu vermindern
und Ratschlàge wie den obigen in einen passenden Kontext zu stellen,
der - womöglich - nicht nur dem Fragenden sondern auch dem Belehrenden
hilft.

Die folgenden Diskussionen bieten typische Beispiele für die mangelnde
Unterscheidung zwischen potentiell und aktual:

Man kann auch nicht alle natürlichen Zahlen benennen - obwohl er da ja
auch irgend so einen Quatsch mit beweist.
Mit seiner Argumentation können unendliche Mengen nicht existieren.
Denn man kann unmöglich allen Elementen einen (einzigartigen) Namen
geben. Und es liegt auf der Hand, _DASS_ es unendliche Mengen geben
muss. Wàre N endlich, könnte man ein Maximum m angeben. Durch die
induktive Definition würde man dann aber ein n = m + 1 angeben welches
aus N ist, gleichzeitig aber größer als m und damit nicht aus N ist =>
0. {{Hier wird automatisch das potentiell Unendliche herangezogen.}}
Was er darüberhinaus mit "vollstàndig existieren" meint, ist mir
schleierhaft. {{Das für Cantors Diagonalargument notwendige aktuale
Unendliche ist also unbekannt.}}
[O.D. "Endliche überabzàhlbare Mengen...", Informatik-Studium an der
RWTH Aachen, 18. 10. 2008]
http://www.infostudium.de/viewtopic...45f2d45465

The following statements are accepted by WM:
- if an entity X satisfies the Peano axioms then X is a potentially
infinite set
- the natural numbers are a potentially infinite set.
- given x and a potentially infinite set S, it makes sense to ask the
question "is x an element of S". {{Ja, dies gilt für jedes x, /nach
dem gefragt werden kann/, das also eine endliche Definition besitzt
und deswegen zu einem endlichen Anfangsabschnitt der Menge |N
gehört.}}
[W. Hughes, "Cantor Confusion", sci.math, 7. 12. 2006]


WM: In my opinion neither the complete sequence
0.1
0.11
0.111
...
nor the complete sequence 0.111... exist. I do not believe in an
actually infinite linear (i.e. inclusion monotonic) set that has all
elements but no last one.
BK: So, you are saying that every sequence has a last element,
right?
WM: Wrong.
BK: What is the last element of (0, 1, 2, 3, ...) ?
WM: There is no last element in a potential infinity.
BK: (This sequence is precisely defined by "for all i, S_i i").
WM: The number X > 10 and X < 9 is also precisely defined.
BK: What is the last element of (1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...) ?
(For all i, S_i = 2^-i).
WM: You should know that all mathematicians until Cantor had no
problems with infinity and incomplete sets. And mathematics has
neither. Your sequence has no last element because it is not complete.
There are infinitely many elements missing from
completeness. Think of the many paths in the Binary Tree.
But I know that you and many fellow mathematicians believe that.
Therefore I assume its existence and show what follows.
BK: Do you believe that mathematics which includes infinite sets
and sequences is internally inconsistent?
WM: No I do not believe it, it know it. Mathematics is communication
(at least with oneself). Uncountability requires undefinable numbers,
undefinable definitions. - That is what I call inconsistent.
Every real number that is a part or the result of a finite
calculation belongs to a countable set. Every real number that is part
or the result of an infinite calculation with a finite definition
belongs to a countable set. Every diagonal of a Cantor-list that has a
finite definition (such that every line is known) belongs to a
countable set. The union of these three sets is a countable set.
So, for what purpose needs a mathematican uncountable sets?
Regards, WM
[Barb Knox, "every is not all", sci.logic, 20. 8. 2011]

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
03/05/2012 - 14:17 | Warnen spam
Am 03.05.2012 09:54, schrieb WM:
Potentiell versus aktual (1)



...
[Barb Knox, "every is not all", sci.logic, 20. 8. 2011]


^^^^^^^^^^^^^^^^
Darauf kann man hier gar nicht oft genug hinweisen.
Hermes geht als einer der wenigen darauf ein.

Gruß, WM



Rudolf Sponsel, Erlangen

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