Das Kalenderblatt 120505

04/05/2012 - 15:22 von WM | Report spam
Potentiell versus aktual (2)

Alle sogenannten Beweise (und es dürfte mir wohl keiner verborgen
geblieben sein) gegen das geschöpfliche A. U. beweisen /nichts/, weil
sie sich nicht auf die richtige Definition des Transfiniten beziehen.
Die beiden für seine Zeit und auch heute noch kràftigsten und
tiefsinnigsten Argumente des S. Thomas Aquinatus (S. Th. I, q. 7, a. 4
"1. Omnem multitudinem oportet esse in aliqua specie multitudinis.
Species autem multitudinis sunt secundum species numerorum. Nulla
autem species numeri est infinita; quia quilibet numerus est multitudo
mensurata per unum. Unde impossibile est esse multitudinem infinitam
actu; sive per se, sive per accidens. 2. Item omnis multitudo in rerum
natura existens est creata; et omne creatum sub aliqua certa
intentione creantis comprehenditur, non enim in vanum agens aliquod
operatur. Unde necesse est quod sub certo numero omnia creata
comprehendantur. Impossibile est ergo esse multitudinem infinitam in
actu, etiam per accidens.") [1. Jede Menge muß irgendeiner Art von
Mengen angehören. Die Arten einer Menge aber richten sich nach den
Arten der Zahlen. Keine Art von Zahlen aber ist unendlich; denn jede
Zahl ist eine durch die Eins gemessene Menge. Also kann es unmöglich,
sei es per se, sei es per accidens, eine aktual unendliche Menge
geben. 2. Desgleichen ist jede Menge, die in der Natur der Dinge
existiert, geschaffen; und jedes Geschaffene unterliegt einer
bestimmten Absicht des Schaffenden; denn kein Wirkender wirkt ziellos.
Also ist es notwendig, daß alles Geschaffene unter eine ganz bestimmte
Zahl fàllt. Daher kann es unmöglich eine aktual unendliche Menge geben
auch nicht per accidens.] werden hinfàllig, sobald ein Princip der
Individuation, Intention und Ordination actual unendlicher Zahlen und
Mengen gefunden ist; ein solches Princip liegt in meinen actual
unendl. Màchtigkeiten (Kardinalzahlen), Ordnungszahlen und
Ordnungstypen. Solange man dieses Princip noch nicht kannte, war es
von den Scholastikern durchaus consequent und richtig, das infinitum
actu in natura creata zu bekàmpfen. Meiner festen Ueberzeugung nach
widerspricht es aber ebensowenig den grossen Principien der
christlichen Scholastik, das Transfinitum zu acceptiren, anzuerkennen
und in den Speculationen zu verwerthen, sobald es von irgend Jemandem
als /wahr/ demonstrirt worden ist.
[Cantor an Schmid, 26. 3. 1887, zitiert und übersetzt in C. Tapp:
"Kardinalitàt und Kardinàle", Franz Steiner Verlag (2005) p. 500] ]

|R ist in der ∈-Sprache ganz klar unterschieden von |Q, und zwar ohne
Referenz auf das eingebettete |Q, welches seinerseits als ganz normale
Untermenge in |R enthalten ist. Im übrigen bestimmt die Mengenlehre
unendlich viele irrationale Zahlen eindeutig {{unendlich viele, ja,
aber nicht mehr}}, wàhrend die nonstandard Objekte in der
artifiziellen Mengenstruktur des nonstandard Modelles unbestimmbar
sind.
[Michael Reeken: "C’est une facon de parler" (2008)]
http://www2.math.uni-wuppertal.de/~reeken/msp.pdf

Es ist möglich, mit Hilfe von zwei in einer Folge beliebig
angeordneten Symbolen 2^n unterscheidbare Zeichenketten der Lànge n zu
erstellen. Ein Bildungsgesetz kann sogar Zeichenketten unendlicher
Lànge erzeugen. Es ist nicht möglich, anhand einer unendlichen
Zeichenkette das erzeugende Bildungsgesetz zu identifizieren. Die
Information ist nicht perfekt, bevor das Ende der Zeichenkette bekannt
ist, was durch Betrachtung der Zeichen nicht möglich ist.

Cantor "bewies" für ein Alphabet aus 10 Ziffern, 30 Buchstaben und ein
paar mathematischen Zeichen, dass die in deutscher Sprache
verstàndlichen und unterscheidbaren reellen Zahlen überabzàhlbar sind.
Dazu benötigte er "unendliche Wörter" aus Ziffern, die als
Individuationsmerkmale für Zahlen nicht verwendbar sind.
Mögen in Sprachen mit unendlichen Alphabeten überabzàhlbar viele
Zahlen existieren (*), (**) - in der von Cantor verwendeten deutschen
Sprache existieren sie nicht.

(*) Ein unendliches Alphabet müsste "aktual" existieren, denn jeder
Buchstabe müsset zur Verfügung stehen - nicht nur potentiell zu jedem
ein Nachfolger existieren. Außerdem müsste das Alphabet definiert
sein. Selbst wenn für jeden Buchstabe nur ein Kubikfemtometer benötigt
würde, so übertràfe das erforderliche Speichervolumen die Größe einer
Kugel von einer Myriade Googolplex Lichtjahrtausenden und noch viel
mehr.

(**) Auch ein unendliches Alphabet hülfe indessen nichts.
Informationsübermittlung ist immer auf eine endliche Bitfolge
beschrànkt. Betrachten wir die natürlichen Zahlen als Buchstaben eines
Alphabets, so erhalten wir doch nur eine abzàhlbare Menge von
endlichen Teilmengen. Und auch die für jede endliche Teilmenge
endliche Anzahl von unterschiedlichen Reihenfolgen der Elemente öffnet
keine Tür ins Überabzàhlbare.

Gruß, WM
 

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#1 Rudolf Sponsel
04/05/2012 - 18:55 | Warnen spam
Am 04.05.2012 15:22, schrieb WM:
Potentiell versus aktual (2)

Alle sogenannten Beweise (und es dürfte mir wohl keiner verborgen



...
[Michael Reeken: "C’est une facon de parler" (2008)]
http://www2.math.uni-wuppertal.de/~reeken/msp.pdf



Das Zitat von Robinson darin erscheint bemerkenswert:

My position concerning the foundations of Mathematics is based
on the following two main points or principles.
(i) Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e.
either really or ideally). More precisley, any mention, or purported
mention, of infinite totalities is, literally, meaningless.
(ii) Nevertheless, we should continue the business of Mathematics
„as usual”, i.e. we should act as if infinite totalities really
existed.

Gruß: Rudolf Sponsel, Erlangen
...

Gruß, WM

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