Das Kalenderblatt 120525

24/05/2012 - 08:18 von WM | Report spam
Cantors Weltbild (39): Giganten

{{a, h, n, g, w ersetzen hier griechische Buchstaben des Originals, Li
bezeichnet nach Cantor den Limes.}}

Lassen Sie uns Kürze halber die der zweiten Zahlenclasse angehörigen
Wurzeln der Gleichung w^x= x die Giganten der zweiten Zahlenklasse
nennen; es fragt sich, auf welche Weise wir uns einen Ueberblick über
sàmmtliche Giganten, einen Einblick in ihre gesetzmàßige Folge
verschaffen.
Der kleinste Gigant, wir wollen ihn gamma_1 nennen ist:
g_1 = Li (w, w_1, w_2, ... ),
wenn w_1 = w^w; w_2 = w^w_1; w_3 = w^w_2; ... gesetzt werden.
Es kommt nun darauf an, den nàchstfolgenden Giganten g_2 und
allgemein die wohlgeordnete Menge zweiter Màchtigkeit vom Typus Omega
sàmmtlicher Giganten der zweiten Z. cl.:
g_1, g_2, ... g_n, ... g_w, g_(w + 1), ...
zu characterisiren.

1. Ist a irgend eine Zahl >= 1 der ersten oder zweiten Z. cl. und
bildet man:

a_1 = w^a; a_2 = w^a_1; a_3 = w^a_2; ...
so ist, wie leicht zu sehen, die Zahl Li(a, a_1, a_2,...) stets ein
Gigant; wir wollen ihn in seiner Abhàngigkeit von a mit G(a)
bezeichnen.

2. Ist nun g irgend ein Gigant, g' der auf ihn nàchstfolgende
Gigant und h irgend eine Zahl zwischen beiden, so daß: g < h < g', so
ist immer:
G(h) = g'
Denn man hat wegen g < h < g' auch:
w^g < w^h < w^g'
d. h. (dag und g' Giganten sind)
g < w^h < g'
Bezeichnet man also w^h mit h_1, so ist:
g < h_1 < g'

8. Folgende Gleichungen:
w^x = xw; w^x = x^w; (w^x)2 = x^2; w^x = x^w^2
haben respective die folgenden Lösungen:
x = g + 1 ; x = gw ; x = g2 ; x = g*w^2
wo g irgend einen Giganten bedeutet und es làsst sich auch beweisen,
dass keine anderen Lösungen von ihnen existiren.
[Cantor an Goldscheider, 11. 10. 1886]

{{Leider besitzt seither die einfache und altehrwürdige Gleichung
(3) Li(y) = 2^x
(in moderner Schreibweise: aleph_0 = 2^x) keine Lösung mehr.}}
That is questionable from the historical as well as from the
mathematical point of view.
The historical point is the following. There have been always
equations without solutions. One of them was 1 + x = 0 until Leonardo
of Pisa introduced negative numbers, another one was 1 + x^2 = 0 and
it remained so even longer, like negative logarithms and related
notions. But it was never heard of, in any branch of mathematics, that
an equation which once upon a time had had a solution, later on lost
it. Now, in finite mathematics all equations of the form y = 2^x have
solutions. Before the advent of set theory, equation (3) had a
solution too, namely x = oo. Meanwhile there is no longer any solution
at all. This is the only case in history where the set of solutions
has shrunk.
The mathematical point is that some bijections have become
impossible and that variables have to jump over large gaps. There are
bijections which are well defined, or at least can be defined, over
the whole sequence of natural numbers (so far it exists) like n <-->
2n and some others [...] Bijections like n <--> 2^n [...], however,
are discontinuous.
(4) 2^n < aleph_0 for n < aleph_0 and 2^n = 2^aleph_0 >
aleph_0 for n = aleph_0
This bijection is undefined between aleph_0 and 2^aleph_0. There is
a gap where 2^n is neither finite nor infinite.
[W. Mückenheim: "The Meaning of Infinity", arXiv, math.GM/061213
(2004)] http://arxiv.org/pdf/math.GM/0403238

Etwas kleinere große Zahlen findet man hier:
Norman Wildberger: "Extremely big numbers":
http://www.youtube.com/watch?v=wPEY...ure=relmfu

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 Renju
24/05/2012 - 23:47 | Warnen spam
On 24.05.2012 08:18, WM wrote:

There are
bijections which are well defined, or at least can be defined, over
the whole sequence of natural numbers (so far it exists) like n<-->
2n and some others [...] Bijections like n<--> 2^n [...], however,
are discontinuous.



Mückenhirn wie er leibt und lebt!
Solange man keine Bildmenge angibt, ist es Schwachsinn von "Bijektion"
zu reden. f(n) := 2n und g(n) := 2^n sind zumindest keine Bijektionen
|N -> |N. Für welche n aus |N gilt z. B. 2n = 11 oder 2^n = 11.


(4) 2^n< aleph_0 for n< aleph_0 and 2^n = 2^aleph_0>
aleph_0 for n = aleph_0
This bijection is undefined between aleph_0 and 2^aleph_0.



Undefiniert weil Bilder fehlen. ROFL


There is
a gap where 2^n is neither finite nor infinite.



Boah ey, 2^n hat sogar eine Lücke von 9 bis 15.

[W. Mückenheim: "The Meaning of Infinity", arXiv, math.GM/061213
(2004)] http://arxiv.org/pdf/math.GM/0403238



Die veröffentlichen auch jeden Schwachsinn.

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