Das Kalenderblatt 120601

31/05/2012 - 08:58 von WM | Report spam
Nachdem ich verschiedenes Material über Ansichten zum Unendlichen
gesammelt hatte, habe ich eine Vorlesung zu dem Thema zu halten
beschlossen; das ist auch ein probates Mittel zur Klàrung eigener
Gedanken. Zum einen zwingt es dazu, das Material zu ordnen, und
erlaubt weiterhin, es an den Fragen der Studenten weiterzuentwickeln.
Zu dieser Vorlesung habe ich ein Skriptum verfaßt. Im Juni war ich
damit ziemlich fertig, hatte nur noch ein paar abschließende Worte zu
formulieren. In allen Bereichen hatte ich das aktual Unendliche (das
ich für die widersinnigste Idee halte, die je in die Wissenschaft
Einlaß gefunden hat) ausschließen oder zumindest als sehr
unwahrscheinlich erkennen können, mit Ausnahme der Irrationalzahlen
und insbesondere der transzendenten Zahlen, die ja im Gegensatz zu
allen anderen schon bei ihrer Erzeugung (durch Reihen = Polynome
unendlichen Grades) des aktual Unendlichen bedürfen. Um diese Zeit kam
mir dann langsam - die Erkenntnis, daß irrationale Zahlen gar nicht
existieren können. Cantor hat davon gesprochen, daß seine
transfiniten Zahlen mit den endlichen Irrationalzahlen stehen und
allen. Nun waren beide gefallen.
Damit ist Ihre letzte Frage bereits beantwortet: Als ich meinen im
Vortrag benutzten Beweis verfaßte, in den Grundzügen bereits im Mai
vergangenen Jahres, hatte ich über die mangelhafte Existenz der
irrationalen Zahlen noch gar nicht nachgedacht. Ich wußte damals
lediglich, daß zwischen zwei reellen Zahlen immer eine rationale Zahl
liegen muß, so genau man auch hinschaut. Daraus folgt m. E., daß es
nicht mehr irrationale als rationale geben kann. Denn wie weit man
auch ins unendlich Kleine vordringt, es bietet sich immer wieder
dasselbe Bild. Das ist wie bei einem Fraktal. Jedenfalls gibt es keine
Chance, daß sich mehr irrationale Zahlen als rationale irgendwie
einmogeln könnten. Ich habe diesen Beweis einigen Mathematikern und
Logikern mitgeteilt und bin natürlich nur auf Ablehnung gestoßen. Das
Erstaunliche daran war allerdings, daß die Ablehnung jeweils anders
begründet wurde. Da gab es, von "führenden deutschen und
amerikanischen" Mengenlehrern die Aussage, daß mir die Indizes zur
Numerierung der Rationalzahlen ausgehen könnten, oder daß ich nicht
mehr in der Lage sei, die Zahlen zu unterscheiden, wenn ich "ins
Unendliche kàme". Ich habe meinen Beweis daher verbessert, indem ich
schon mit der vollstàndig indizierten Menge rationaler Zahlen beginne,
ist das erste Argument entkràftet. Ich habe Cantors Beweis
eingeflochten, um zu zeigen, daß ich immer in der Lage bleibe, die
Zahlen zu unterscheiden. Zuletzt nun sind mir die Omegazahlen
entgegengehalten worden. Weil ich aber für meinen Beweis die
Wohlordnung der Irrationalzahlen nicht unbedingt benötige (wenn sie
den Beweis auch etwas vereinfachen) kann ich auch diesem Einwand
begegnen. Darum bin ich weiterhin auf der Suche nach stichhaltigen
Argumenten gegen meinen Beweis, der natürlich nur unter der Annahme
der Existenz von Irrationalzahlen sinnvoll ist, dessen Gültigkeit vom
Standpunkt der ML mich aber trotzdem interessiert.
Meines Wissens gibt es vier Definitionsmöglichkeiten für
Irrationalzahlen (IZ).
(1) Dedekinds Schnitte (1872), die eine Möglichkeit bieten, IZ
aufzufinden oder zu schaffen, wie Dedekind sich ausdrückt.
(2) Grenzwerte von Folgen, eine Methode, die ich früher immer
Cauchy zugeschrieben habe, die aber Cantor auch für sich in Anspruch
nimmt. Er sagt zu recht: "Hier ist in erster Linie die Theorie der
irrationalen Zahlgrößen anzuführen, deren Begründung nicht
durchführbar ist, ohne daß das A.-U. in irgendeiner Form herangezogen
wird." Und weiter: ""Ich habe mich dazu schon früher (Math. Ann. Bd.
5, S. 123) besonderer aktual-unendlicher Mengen rationaler Zahlen
bedient, welche ich Fundamentalreihen nenne. Herr E. Heine ist mir
darin gefolgt (Crelles Journ. Bd. 74, S. 172); seine Abweichungen
beziehen sich nur auf die Ausdrucksweise, in der Sache
stimmt er mit mir ganz überein. Ich erwàhne hier den eigentümlichen,
meines Erachtens rückschrittlichen Versuch des Herrn Molk (Acta math.
t. VI), die irrationalen Zahlen gànzlich aus dem Gebiet der höheren
Arithmetik zu vertreiben; Herr Kronecker geht sogar noch weiter und
will diese Zahlen auch in der Funktionentheorie nicht dulden, aus
welcher er sie durch höchst künstliche Subsidiaritàtstheorien zu
verdràngen sucht; es bleibt abzuwarten, welchen Erfolg und welche
Dauer diese unnötigen Bemühungen haben werden."
Im Gegensatz zu Ihnen erkennt Cantor aber an, daß der Grenzwert
Wurzel aus 3 (W3) keine Zahl, sondern lediglich ein Symbol ist, das
erst durch die Folge Bedeutung gewinnt: "... wàhrend offenbar W3
nichts anderes ist als eine Umschreibung der aufgeworfenen Frage: eine
Zahl zu suchen, deren Quadrat 3 ist. W3 ist also nur ein Zeichen für
eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll, nicht aber deren
Definition. Letztere wird jedoch in meiner Weise etwa durch (1,7,
1,73, 1,732, ...) befriedigend gegeben.
Cantor hatte noch das Recht, die Reihe unendlich weit fortgesetzt
zu denken, weil er von der unendlichen Menge von Monaden in jedem
Volumen des Universums ausging. Dieses Recht aber existiert inzwischen
nicht mehr.
(3) Über Weierstraß' Theorie ist mir wenig bekannt. Es soll
Darstellungen von Kosak (1872) und Mittag-Leffler geben, die ich aber
nicht gelesen habe. Da Cantor Weierstraß' Schüler war, gehe ich davon
aus, daß die Theorien sich nicht sehr stark voneinander unterscheiden.
(4) Schließlich hat man noch die Intervallschachtelung, wie sie z.
B. in H. Bachmann: "Transfinite Zahlen", Springer, Berlin (1967) und
in vielen Lehrbüchern für die Schulen dargestellt wird und wohl
allgemein bekannt ist. Im Grunde ist diese Methode nicht sehr von den
Cauchy-Cantorschen verschieden, da die Intervallgrenzen ebenfalls
monotone, beschrànkte und damit konvergente Folgen darstellen.
Gegenüber der Dedekindschen haben alle anderen Theorien den
Nachteil, daß sie für jede Zahl unendlich viele Darstellungen liefern.
Deshalb lehre ich diese als letztes Axiom der reellen Zahlen ohne
Kommentar. Mit den Problemen, die sich aus der mangelhaften
Unendlichkeit ergeben, möchte ich ja meine Studenten, die keine
Mathematiker werden wollen, nicht belasten.
Sie können nun behaupten: Wenn ich Dedekind als Axiom betrachte,
dann GIBT es die entsprechenden Zahlen. Punkt. Ich bin mathe-
realistischer eingestellt. Wenn ich die Wurzel aus meinem Schreibtisch
axiomatisiere, so existiert sie trotzdem nicht, weder in der Realitàt,
noch in irgendeinem ideellen mathematischen Universum.
[WM, "Hat Cantor doch geirrt?", de.sci.mathematik, 22.10. 2004]

Gruß, WM
 

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#1 Renju
31/05/2012 - 14:08 | Warnen spam
On 31.05.2012 08:58, WM wrote:

Meines Wissens gibt es vier Definitionsmöglichkeiten für
Irrationalzahlen (IZ).




Das kommt davon, wenn man nur Geschichtsbücher
und Mathematikerbiografien liest. Dann hinkt
man halt etwas hinterher. Es gibt eine Konstruktion
von R direkt aus Z, ohne den Umweg über Q.

http://maths.mq.edu.au/~street/EffR.pdf

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