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Das Kalenderblatt 120613

12/06/2012 - 09:41 von WM | Report spam
MatheRealismus (3)


Im Folgenden wird der Logarithmus zur Basis 2 mit lb abgekürzt.

Sei x >= 2 die Anzahl der Buchstaben (Ziffern) eines Alphabets z.B. 8,
und sei y = lbx die Anzahl der zur Notierung jeder Ziffer benötigten
Bits (im Beispiel y = 3). Mit z Bits können dann z/y Ziffern notiert
werden, also eine von x^(z/y) Zahlen. Im Beispiel für z = 30 also zehn
Ziffern und damit eine Zahl aus einer Menge von 8^10 Zahlen. Da aber
für die Definition der Ziffern mindestens
z_0 = xlbx Bits verbraucht werden, ist die Anzahl der mit z Bits ohne
weitere Abkürzungen darstellbaren Zahlen höchstens
x^(z/lbx - x) = e^(zln2 - xlnx) = 2^z / x^x,
im Beispiel 8^2.

Die maximal darstellbare Anzahl von Zahlen ergibt sich aus
0 = d(x^(z/lbx - x))/dx = (-1 - lnx)*e^(zln2 - xlnx).
Das Maximum der für alle x >= 0 definierten Funktion liegt bei x = 1/e
(dem Minimum von x^x) so dass wegen der Beschrànkung auf x >= 2 das
binàre Alphabet vorzuziehen ist.

Für große Bitmengen z sind alle kurzen Alphabete ziemlich
gleichwertig, da lediglich die zur Definition der Ziffern verbrauchte
Bitmenge xlbx differiert, aber gegen z vernachlàssigbar ist.

Für z = 10^100 ist die Anzahl der ohne Exponenten und andere
Abkürzungen binàr darstellbaren Zahlen genau so groß wie die der oktal
darstellbaren:
2^(10^100) = (2^3)^((10^100)/3).

Eine analoge Überlegung ergibt, dass ohne zusàtzliche Hilfsmittel auch
die Einteilung einer Strecke in mehr als 2^(10^100) Intervalle nicht
möglich ist.

In beiden Fàllen existiert aber keine Schranke für eine größte Zahl
oder ein kleinstes Intervall. 10^10^10^10^10 oder dessen Kehrwert sind
nur Beispiele für viel weitergehende Notationen. Vgl. Ackermann-
Funktion
http://www.encyclopediaofmath.org/i...n_function
oder Knuthsche Pfeilschreibweise
http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html

Gruß, WM
 

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#1 Jürgen R.
12/06/2012 - 10:57 | Warnen spam
"WM" schrieb im Newsbeitrag
news:
MatheRealismus (3)


Im Folgenden wird der Logarithmus zur Basis 2 mit lb abgekürzt.

Sei x >= 2 die Anzahl der Buchstaben (Ziffern) eines Alphabets z.B. 8,
und sei y = lbx die Anzahl der zur Notierung jeder Ziffer benötigten
Bits (im Beispiel y = 3). Mit z Bits können dann z/y Ziffern notiert
werden, also eine von x^(z/y) Zahlen. Im Beispiel für z = 30 also zehn
Ziffern und damit eine Zahl aus einer Menge von 8^10 Zahlen. Da aber
für die Definition der Ziffern mindestens
z_0 = xlbx Bits verbraucht werden, ist die Anzahl der mit z Bits ohne
weitere Abkürzungen darstellbaren Zahlen höchstens
x^(z/lbx - x) = e^(zln2 - xlnx) = 2^z / x^x,
im Beispiel 8^2.

Die maximal darstellbare Anzahl von Zahlen ergibt sich aus
0 = d(x^(z/lbx - x))/dx = (-1 - lnx)*e^(zln2 - xlnx).
Das Maximum der für alle x >= 0 definierten Funktion liegt bei x = 1/e
(dem Minimum von x^x) so dass wegen der Beschrànkung auf x >= 2 das
binàre Alphabet vorzuziehen ist.

Für große Bitmengen z sind alle kurzen Alphabete ziemlich
gleichwertig, da lediglich die zur Definition der Ziffern verbrauchte
Bitmenge xlbx differiert, aber gegen z vernachlàssigbar ist.

Für z = 10^100 ist die Anzahl der ohne Exponenten und andere
Abkürzungen binàr darstellbaren Zahlen genau so groß wie die der oktal
darstellbaren:
2^(10^100) = (2^3)^((10^100)/3).

Eine analoge Überlegung ergibt, dass ohne zusàtzliche Hilfsmittel auch
die Einteilung einer Strecke in mehr als 2^(10^100) Intervalle nicht
möglich ist.

In beiden Fàllen existiert aber keine Schranke für eine größte Zahl
oder ein kleinstes Intervall. 10^10^10^10^10 oder dessen Kehrwert sind
nur Beispiele für viel weitergehende Notationen. Vgl. Ackermann-
Funktion
http://www.encyclopediaofmath.org/i...n_function
oder Knuthsche Pfeilschreibweise
http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html



Ich schlage vor, dass Sie diese wichtigen Ausführungen als
Anhang Ihrem Aufsatz "2+2 = 5" beifügen. Wie steht es
eigentlich mit der Fertigstellung dieser Arbeit?

Was ich noch vergessen hatte: Ihre berühmte Arbeit "On
the Abundance of the Irrational Numbers" ist 8 Seiten lang,
genau wie Riemanns berühmter Aufsatz "On the Abundance
of the Prime Numbers". Kann das ein Zufall sein?

Über Riemanns 8 Seiten sind unzàhlige, sicher viele hunderttausend,
Seiten publiziert worden, also etwa 8^7. Über Mückenheims 8 Seiten
werden mit Sicherheit nicht mehr als 8^(-7) Seiten publiziert
werden. Làsst sich diese Formel verallgemeinern?

Könnte es sein, dass ein bisher unerkannter Zusammenhang
besteht zwischen Darwins "Origin of the Species" und
Mückenheims "Origin of the Specious" (Originaltitel:
"Die Geschichte des Unendlichen")?


Gruß, WM

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