Das Kalendertblatt 100709

08/07/2010 - 08:53 von WM | Report spam
"Oder ist eine völlige Abkehr von der Mengenlehre im
Elementarunterricht zu raten? Wir sind heute geneigt, diese letzte
Möglichkeit zu empfehlen." [Herbert Meschkoswki]

Das dachte ich auch. Aber vielleicht sollten wir doch?

Die sechs Schwestern (sehr frei nach den Gebrüdern Grimm)
Ein Beitrag zum Elementarunterricht in der Vorschulerziehung

Es waren einmal sechs Schwestern, die nicht folgen, aber gern mengen
wollten, am liebsten Zucker, Kakao, Eigelb und Schlagsahne. Das
mochten sie für ihr Leben gern. Die Eltern waren überfordert, und alle
litten Hungers. Vor allem Kakao und Eier waren immer knapp. Deshalb
setzten sie ihre Töchter in einem dunklen Wald aus. Die wussten nicht
mehr aus noch ein und waren sehr traurig. (Auch das Ausstreuen von
Hirsekörnern hatte sich als nutzlos erwiesen.) Dort fand sie ein böser
alter Zauberer, der die Màdchen màsten wollte, um sie dann
aufzufressen. Als die Schwestern das merkten (weil er immer nach ihren
Fettpölsterchen fühlte) baten sie um Gnade. Der Zauberer besann sich
kurz und stellte ihnen dann eine Aufgabe, in der Folgen mit Mengen
sich mischen. Jede Schwester sollte sich nàmlich eine Mengenfolge
denken. Und der Zauberer versprach, die Màdchen freizulassen, die am
Ende aleph_0 Elemente vorweisen konnten. (Er wusste natürlich, dass
überhaupt keine von ihnen aleph_0 kannte - er war ja ein böser
Zauberer.)

Die beiden Ältesten, Anna und Bertha, fingen an. Sie kannten schon die
geraden Zahlen und da dachten sie sich einfach die Folge {2, 4, 6, 8,
10, 12, ..., 2n} aus. Damit aber jede eine eigene Folge vorweisen
konnt, nahm Bertha alle Zahlen, die größer als n waren, und Alice den
Rest. So meinten die beiden Schwestern gerecht und gleichmàßig zu
teilen:
n A(n) B(n)
1 { } {2}
2 {2} {4}
3 {2} {4, 6}
4 {2, 4} {6, 8}
5 {2, 4} {6, 8, 10}
6 {2, 4, 6} {8, 10, 12}
... ... ...
Aber, Ach und Weh! Der Zauberer entschied, dass die Folge von Bertha
am Ende ganz leer sei und nichts enthalte. Damit schien Berthas
Schicksal besiegelt. (Seid nur nicht traurig. Man muss natürlich mit
den Helden einer Geschichte fühlen und empfinden, sonst wirkt sie
nicht, - aber auch nicht zu sehr. Hier wird am Ende alles gut!)

Christa und Dora hatten das Missgeschick gesehen und stellten sich
klüger an. Sie wàhlten die Folgen:
n C(n) D(n)
1 { } {1}
2 {2} {1}
3 {2} {1, 3}
4 {2, 4} {1, 3}
5 {2, 4} {1, 3, 5}
6 {2, 4, 6} {1, 3, 5}
... ... ...
Und der Zauberer musste zugeben, dass beide die Aufgabe gelöst hatten.

Nun kamen noch Edda und Frieda, die jüngste, an die Reihe. Frieda
hatte den Zauber schon durchschaut, aber sie wollte auch gern die arme
Berha retten. (Um die Jüngste ist nàmlich immer ein ganz besonderer
Zauber.) Als nun Edda wieder mit einer geeigneten Mengenfolge anfing,
traf Frieda eine àußerst geschickte Wahl:

n E(n) F(n)
1 { } {a}
2 {2} {a}
3 {2} {a, b}
4 {2, 4} {a, b}
5 {2, 4} {a, b, c}
6 {2, 4, 6} {a, b, c}
... ... ...
Und trotz strenger Nachfrage sagte sie nicht, ob ihre Platzhalter für
B oder D stehen sollten. Da lief das Gehirn des Zauberers (der in
Wirklichkeit einen nuklear betriebenen automatischen Beweiser im Kopf
hatte) so heiß, dass ein Kurzschluss zur Kernschmelze führte und der
böse alte Zauberer unter màchtiger Rauchentwicklung in den Boden
versank. Daraus erhob sich aber nun einpràchtiger Palast nebst
angeschlossener Kakaoplantage und Hühnerfarm mit Freilandhaltung. Und
aus sechs Fenstern schauten sechs Prinzen heraus, die der Zauberer
einstmals verwunschen hatte. Nun könnt ihr euch wohl schon denken, wie
die Geschichte endet? Da heirateten nàmlich die sechs Schwestern die
sechs Prinzen und wurden so alle zu Prinzessinnen und spàter zu
Königinnen.
Und wenn sie nicht gestorben sind, dann leben sie noch heute.

Gruß, WM
 

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#1 Jürgen R.
08/07/2010 - 11:11 | Warnen spam
[...]
n A(n) B(n)
1 { } {2}
2 {2} {4}
3 {2} {4, 6}
4 {2, 4} {6, 8}
5 {2, 4} {6, 8, 10}
6 {2, 4, 6} {8, 10, 12}
... ... ...
Aber, Ach und Weh! Der Zauberer entschied, dass die Folge von Bertha
am Ende ganz leer sei und nichts enthalte.



[...]

Nochmal:

Wenn für eine Folge von Mengen Limes Superior und Limes Inferior
übereinstimmen, so konvergiert sie definitionsgemàß.
Das hat mit der Konvergenz von Zahlenfolgen garnichts zu tun.

Kann es sein, dass deine Verstàndnisschwierigkeit darin liegt,
dass man dasselbe Wort - Konvergenz - für verschiedene Begriffe
benutzt?

Es sei z.B. B_n ={1,n}. Dann gilt lim B_n = B = {1}, aber
es gilt nicht lim |B_n| = |B|.

Deine Überlegung ist ganz einfach falsch, sogar wenn die
Mengen nicht unendlich sind.

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