Das Klenderblatt 100527

26/05/2010 - 10:45 von WM | Report spam
Zum Abschluß dieses Abschnittes wollen wir nochmals unserer schon in
der Einleitung angedeuteten Auffassung Ausdruck verleihen, daß die
Einsicht der logischen Unhaltbarkeit des unabzàhlbar Unendlichen für
die führenden Theoretiker der Mathematik "in der Luft liegt“. Was
Brouwer und Weyl betrifft, so bedarf es diesbezüglich keiner weiteren
Bekràftigung; in bezug auf Russell und Hilbert aber mögen noch einige
Belegstellen angeführt werden.
Die Wandlung von Russells Einstellung zur Mengenlehre tritt vor allem
im Vorwort zur zweiten Auflage seiner "Principia Mathematica“ zutage.
Hier zieht der geistesgewaltige Philosoph und Mathematiker aus den
Ergebnissen der methodenkritischen Analysen Chwisteks und
Wittgensteins, welch letztere er, ohne sie schon endgültig zu
akzeptieren, doch für sehr beachtenswert hàlt, die resignierte
Folgerung: .. it seems that the theory of infinite Dedekindian and
well-ordered series largely collapses, so that irrationals, and real
numbers generally, can no longer be adequately dealt with. Also
Cantor's proof that 2^n > n breaks down unless n is finite“ (p. XIV).
[Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
179f]
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Obwohl ich seit einigen Jahren alles sammle, was auch nur entfernt
gegen die transfinite Mengenlehre spricht, war mir diese Aussage
bisher doch noch nirgendwo begegnet. Bildungslücke? Oder hatte sich
Kaufmann hier einen Scherz erlaubt. Schauen wir nach. Gugel ermöglicht
es jedem.

http://books.google.de/books?id=rdM...mp;f=false

Ja, da steht es. Zwar stellt sich heraus, dass Whithead und Russell
hier noch der altmodischen Anschauung anhàngen, eine Axiom, hier ihr
axiom of reducibility

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility

(die Aussage findet sich übrigens auch an dieser Stelle in der sehr zu
lobenden mathematischen Sektion der englischen Wikipedia) könne ad hoc
und deshalb ungerechtfertigt oder nicht zufriedenstellend sein
(derartige Skrupel plagen den modernen Mengenlehrer bekanntlich nicht)
und deswegen Alternativen untersuchen.

Aber ansonsten findet man die Aussage extrem selten. Ich will nun
nicht von einer Verschönerungstheorie reden, aber Fakt ist, dass
Aussagen wie diese extrem selten zitiert werden. Ohne sie erscheint
das Bild, das sich der kleine Mathematiker von der großen Mengenlehre
macht, doch sehr viel schöner. Jedenfalls können wir unumwunden und
ohne die Sorge, moralisch oder beruflich zur Rechenschaft gezogen zu
werden, feststellen: Der allerseits (außer in gewissen militaristisch-
politischen Zirkeln) hochgeschàtzte Lord Russell

http://en.wikipedia.org/wiki/B._Russell

war der Meinung, ohne zweifelhafte ad hoc eingeführte Axiome bràche
das gefeierte Cantorsche Diagonalargument zusammen. Demnach sollte es
den kleinen Mathematiker auf der Straße oder im Hörsaal nicht
überzeugen und hàtte auch 1892 nicht überzeugen dürfen, denn da war
weit und breit an die erforderlichen, zweifelhaften ad-hoc-Axiome noch
nicht zu denken. Die explosionsartige Ausbreitung der transfiniten
Mengenlehre ist demnach einem mathematischen Irrtum anzulasten.

Ein Denkfehler war es, der alles initiierte. Machen wir ihn
rückgàngig.

Gruß, WM
 

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#1 Carsten Schultz
26/05/2010 - 13:07 | Warnen spam
Am 26.05.10 10:45, schrieb WM:
Zum Abschluß dieses Abschnittes wollen wir nochmals unserer schon in
der Einleitung angedeuteten Auffassung Ausdruck verleihen, daß die
Einsicht der logischen Unhaltbarkeit des unabzàhlbar Unendlichen für
die führenden Theoretiker der Mathematik "in der Luft liegt“. Was
Brouwer und Weyl betrifft, so bedarf es diesbezüglich keiner weiteren
Bekràftigung; in bezug auf Russell und Hilbert aber mögen noch einige
Belegstellen angeführt werden.
Die Wandlung von Russells Einstellung zur Mengenlehre tritt vor allem
im Vorwort zur zweiten Auflage seiner "Principia Mathematica“ zutage.
Hier zieht der geistesgewaltige Philosoph und Mathematiker aus den
Ergebnissen der methodenkritischen Analysen Chwisteks und
Wittgensteins, welch letztere er, ohne sie schon endgültig zu
akzeptieren, doch für sehr beachtenswert hàlt, die resignierte
Folgerung: .. it seems that the theory of infinite Dedekindian and
well-ordered series largely collapses, so that irrationals, and real
numbers generally, can no longer be adequately dealt with. Also
Cantor's proof that 2^n > n breaks down unless n is finite“ (p. XIV).
[Felix Kaufmann: "Das Unendliche in der Mathematik und seine
Ausschaltung" Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt ( 1968) p.
179f]
(Ich danke Helmut Büch für den Hinweis auf diese Quelle.)

Obwohl ich seit einigen Jahren alles sammle, was auch nur entfernt
gegen die transfinite Mengenlehre spricht, war mir diese Aussage
bisher doch noch nirgendwo begegnet. Bildungslücke? Oder hatte sich
Kaufmann hier einen Scherz erlaubt. Schauen wir nach. Gugel ermöglicht
es jedem.

http://books.google.de/books?id=rdM...mp;f=false

Ja, da steht es. Zwar stellt sich heraus, dass Whithead und Russell
hier noch der altmodischen Anschauung anhàngen, eine Axiom, hier ihr
axiom of reducibility

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility

(die Aussage findet sich übrigens auch an dieser Stelle in der sehr zu
lobenden mathematischen Sektion der englischen Wikipedia) könne ad hoc
und deshalb ungerechtfertigt oder nicht zufriedenstellend sein
(derartige Skrupel plagen den modernen Mengenlehrer bekanntlich nicht)
und deswegen Alternativen untersuchen.

Aber ansonsten findet man die Aussage extrem selten. Ich will nun
nicht von einer Verschönerungstheorie reden, aber Fakt ist, dass
Aussagen wie diese extrem selten zitiert werden.



Auf jeden Fall sollte man, wenn man etwas zitiert, den Kontext
ausreichend klar darstellen. Russel diskutiert hier lediglich die
Auswirkungen, die es hat, ihr System durch eine von Wittgenstein
vorgeschlagene Variante zu ersetzen. Er schreibt, dass in dieser
Variante die Theorie der reellen Zahlen zusammenbricht, ebenso wie
Cantors beweis von 2^kappa > kappa. (Genauer schreibt er, dass es so
scheint, als wàre das der Fall. Das heißt sicherlich, dass Russel
keinen Weg sieht, diese Teile der Mathematik in diesem modifizierten
System zu entwickeln, dass er aber keinen Beweis hat, dass dies nicht
möglich wàre.)

Das ist absolut unspektakulàr.

Ohne sie erscheint
das Bild, das sich der kleine Mathematiker von der großen Mengenlehre
macht, doch sehr viel schöner. Jedenfalls können wir unumwunden und
ohne die Sorge, moralisch oder beruflich zur Rechenschaft gezogen zu
werden, feststellen: Der allerseits (außer in gewissen militaristisch-
politischen Zirkeln) hochgeschàtzte Lord Russell

http://en.wikipedia.org/wiki/B._Russell

war der Meinung, ohne zweifelhafte ad hoc eingeführte Axiome bràche
das gefeierte Cantorsche Diagonalargument zusammen.



Das ist Quatsch. Es geht hier lediglich darum, warum die in Principia
Mathematica dargelegte Theorie nicht erfolgreich war.

Demnach sollte es
den kleinen Mathematiker auf der Straße oder im Hörsaal nicht
überzeugen und hàtte auch 1892 nicht überzeugen dürfen, denn da war
weit und breit an die erforderlichen, zweifelhaften ad-hoc-Axiome noch
nicht zu denken. Die explosionsartige Ausbreitung der transfiniten
Mengenlehre ist demnach einem mathematischen Irrtum anzulasten.

Ein Denkfehler war es, der alles initiierte. Machen wir ihn
rückgàngig.

Gruß, WM



Gruß

Carsten

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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