Das Parallelenaxiom im Praxistest

29/06/2015 - 16:26 von Rainer Rosenthal | Report spam
Wir betrachten in der kartesischen Ebene Geraden, die
durch den Punkt P = (0,1) gehen. P liegt nicht auf der x-Achse,
und daher schneiden die Geraden durch P diese im Allgemeinen.

Wenn eine solche Gerade (nennen wir sie P-Gerade) die x-Achse bei
einer natürlichen Zahl n oder zwischen n und n+1 schneidet, dann
sagen wir, dass sie zur Klasse n gehört.

Wir starten mit einer P-Geraden durch (1,0) und drehen sie stetig
weiter um P in positiver Richtung. Anfangs gehört sie zur Klasse 1,
nach Überschreiten des Punktes (2,0) zur Klasse 2 usw.
Beim Drehen werden alle Klassen durchlaufen.

Allerdings gibt es auch noch die P-Gerade parallel zur x-Achse.
Diese gehört offensichtlich zu keiner der Klassen 1, 2, 3, ...
und bildet somit eine eigene Klasse, die ich mit w bezeichnen möchte.
Wer darin einen Anspielung auf omega wittert, liegt natürlich nicht
komplett falsch, aber erst einmal steht w nur einfach für "waagerecht".

Obwohl man durch jede Klasse gelangt beim Drehen, kann man selbstverstànd-
lich nicht durch alle drehen, weil man so lange ja nicht lebt.
Dank des Parallelenaxioms existiert aber die P-Gerade p, welche durch
y=1 beschrieben wird.

Starten wir das Drehen nun einmal in entgegengesetzter Richtung, wobei
wir p als Ausgangslage wàhlen. Das scheint auf den ersten Blick eine
ganz einfache Sache zu sein. Aber gerade in dem Moment, wo wir zu
drehen beginnen wollen, hören wir eine philosophische Stimme(*) warnend
rufen:

Es gibt keine Zahlen, die nur in einer Richtung
durchlaufen werden. Ergo ist aktuale Unendlichkeit
nicht einmal von ihren Verfechtern verifizierbar.

Erschrocken halten wir inne: Oh Schreck! In die Rückrichtung zu drehen
hieße ja, die waagerechte Lage zu verlassen. Damit kàme unsere Gerade
aber irgendwo weit draußen im positiven Bereich mit der x-Achse zum
Schnitt und müsste folglich einer Klasse n angehören. Aber welcher?
Starr vor Schrecken müssen wir von unserem unsinnigen Vorhaben ablassen.

Oder doch nicht?
Plötzlich taucht ein aufgeblasener Besserwisser auf, dreht die
Gerade in der bösen Richtung bis zur Klasse 1, murmelte was von
"absteigende Folge von Ordinalzahlen" und verschwindet.
Wir rufen ihm nach: "He, wie hast Du das gemacht?"
Da dreht er sich um, kommt fies grinsend zurück und dreht die
Gerade noch ein Stück weiter in der bösen Richtung.
"Klasse 0" stellt er knurrend fest und hinterlàsst uns ratlos.

Mit freundlichen Grüßen
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

(*) "Die Inkonsistenz des aleph_0", von WM, 29.6.2015, 12:35 Uhr.
 

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#1 qdl
29/06/2015 - 18:06 | Warnen spam
Rainer Rosenthal wrote:

Obwohl man durch jede Klasse gelangt beim Drehen, kann man selbstverstànd-
lich nicht durch alle drehen, weil man so lange ja nicht lebt.



Und ab hier lohnt sich das weiterlesen nicht mehr, weil man weiß, dass
es sich nicht um Mathematik handeln kann.

hs

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