Das Zauberdreieck

22/10/2011 - 09:34 von WM | Report spam
Mengenlehre und Geometrie vertragen sich nicht.
Das wurde schon mehrmals angesprochen.
http://groups.google.com/group/sci....&hl=de

Das Problem ist einfach dargelegt:

Die Folge von endlichen, gleichseitigen aus dirkreten Elementen
bestehenden Dreiecken

o

o
oo

o
oo
ooo

...

besitzt unter Umstànden einen Grenzwert, dessen Eigenschaften aber von
der Wahl des Koordinatensystems abhàngen. Zu wissenschaftlichen
Zwecken kann die transfinite Mengenlehre demnach nicht eingesetzt
werden. Die Ursache ist folgende:

Nummerieren wir die Elemente der Zeilen, so dass immer wieder mit 1
begonnen wird,

1
1,2
1,2,3
...

dann besitzt die Zeilenfolge den Grenzwert {1, 2, 3, ...}, wobei noch
ungeklàrt ist, ob es sich um ein Maximum oder nur um ein nicht von den
Zeilen angenommenes Supremum handelt.

Nummerieren wir die Elemente der Zeilen dagegen fortlaufend,

1
2,3
4,5,6
...

dann besitzt die Zeilenfolge den Grenzwert { }, denn von jeder
natürlichen Zahl kann die Zeile angegeben werden, in der sie sich
befindet. Und das ist nicht die Grenzzeile.

Zu mathematischen Untersuchungen kann die Mengenlehre allerdings auch
nicht eingesetzt werden, denn nummerieren wir die Elemente einfach
doppelt, nàmlich mit einem hochgestellten Index immer neu beginnend
und mit einem tiefgestellten Index fortlaufend, dann gibt es das, was
man außerhalb von Matheologenkreisen einen Widerspruch nennt.

Innerhalb von Matheologenkreisen wird man darüber nicht sprechen, um
keinen Widerspruch "herbeizureden". Das Problem ist einfach nicht
sauber definiert und sowieso in ZFC nicht formulierbar.

Gruß, WM
 

Lesen sie die antworten

#1 WM
22/10/2011 - 13:26 | Warnen spam
On 22 Okt., 09:07, Michael Mendelsohn
wrote:
Am 21.10.2011 22:18, schrieb WM:



Da wird man sagen "hast du halt deine Ersetzungsregel unglücklich
gewàhlt, eine Zahl, die in deiner Folge nicht enthalten ist, gibt es ja
offensichtlich trotzdem", und du wirst entgegnen: "kann man sich denn
dann sicher sein, dass man immer eine glückliche Ersetzungsregel findet?"



Richtig.
Und in der Hauptsache: Wie man gerade an diesem Beispiel sehr schön
erkennt: Die Liste ist niemals "fertig". Deswegen kann man hier wie
überall keine Information entnehmen.
Eine unendliche Folge enthàlt keine Information, denn man ist niemals
sicher, dass nicht irgendwo steht: "April, April". Es sei denn man
schwingt sich zum Gott auf und behauptet, man könne eine Unendlichkeit
überblicken. Ich kann es nicht, jedenfalls nicht ohne dass diese
Unendlichkeit eine endliche Definition besàße.

Das Grundproblem ist, dass Induktionsbeweise und Unendlichkeit mit
Vorsicht zu behandeln sind:

Behauptung: Zu jeder Menge natürlicher Zahlen gibt es eine natürliche
Zahl, die in ihr nicht enthalten ist.



Die Behauptung ist richtig. Wie schon Euklid sagte, zu jeder
vorgelegten Menge von Primzahlen gibt es eine darin nicht enthaltene.
Könnte man die Menge aller Primzahlen als mathematisch sinnvolle
Konstruktion betrachten, dann hàtte Euklid geirrt. Der Irrtum liegt
aber bei Cantor.

Folgerung: Es folgt per Induktion, dass es eine natürliche Zahl gibt,
die in den natürlichen Zahlen nicht enthalten ist.

Was natürlich Blödsinn ist.



Der beruht aber auf der Annahme, dass "die natürlichen Zahlen" eine
mathematisch sinnvolle Bezeichnung für eine fertige Menge darstellt.

Daraus folgt aber auf der Meta-Ebene, dass wir dem
Diagonalisierungsbeweis misstrauen müssen: er funktioniert zwar für jede
endliche Menge von Dezimalstellenfolgen per Induktion, aber dass die
Folgerung auch für die Unendlichkeit gilt, muss extra begründet werden.
Hat Cantor das gemacht?



Nein. Gerade das ist der wunde Punkt, der übrigens im morgigen KB zur
Sprsche kommen wird. Kurz gesagt: Eine unendliche Summe kann man nicht
bilden, sondern nur feststellen, dass eine konvergente Reihe bis zu
jeder Partialsumme berechnet werden kann und immer weniger vom
Grenzwert abweicht. In jedem Falle bleiben noch unendlich viele
Glieder übrig.

Cantor dagegen zàhlt die rationalen Zahlen bis zu jeder beliebigen ab.
Die Abzàhlung ist eine nicht konvergente Summe (immer 1 mehr). Dann
vertauscht er "jede" und "alle" und schon hat er die Abzàhlung fertig.

"Jedes" und "alle" wird zwar in der Logik durch denselben Quantor
ausgedrückt, aber wie man leicht sieht, besteht ein grundlegender
Unterschied.
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es eine größere.
Zu allen natürlichen Zahlen gibt es keine größere.

> Ist aleph_0 nur Supremum der Ziffernzahl, dann ist die Diagonalzahl
> nicht 1/9, denn 0,111... als unendliche Ziffernfolge müsste aleph_0
> Einsen besitzen, also mehr als jede natürliche Anzahl. Also kommt in
> der Diagonal nur jede endliche Anzahl von Einsen vor, keine aktual
> unendliche. Jede endliche Anzahl von Einsen kommt aber auch in den
> Zeilen vor. Die Konstruktion einer nicht dort vorkommenden Zahl
> gelingt nicht.

Dem (und den folgenden Überlegungen) konnte ich nicht ganz folgen, aber
ich hoffe, das macht nichts. Ich sehe aber jetzt den Zusammenhang zu
deiner Dreiecksfolge.

Ich schreib mir die mal um, damit man die Bijektion zu den natürlichen
Zahlen sofort sieht:

1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
...



In dieser Nummerierung ist die Grenzzeile (nach Mengenlehre) leer,
denn alle natürlichen Zahlen stehen in endlich nummerierten Zeilen.

Wir haben ja schon mit den natürlichen Zahlen genaugenommen das Problem,
dass es natürliche Zahlen gibt, die wir, wenn wir Pech haben, nicht
abzàhlen können. Wenn wir das Dedekind-Kriterium benutzen, haben die
natürlichen Zahlen echte Teilmengen, zu denen sie gleich möchtig sind:
d.h. z.B. wenn ich nur die geraden Zahlen zàhle, habe ich die ungerade
Zahlen übersprungen. Dann kann ich aber im Umkehrschluss auch folgern,
dass es zu jeder Menge natürlicher Zahlen eine Obermenge geben kann, die
Elemente enthàlt, die ich mit Abzàhlen nicht erreiche.
(Wie z.B. *beide* unteren Ecken des transfiniten Dreiecks, und die
unendlich vielen Zahlen dazwischen.)
Die Tatsache, dass eine Menge Zahlen enthàlt, die ich durch Abzàhlen
nicht erreiche, bedeutet also nicht notwendig, dass die Menge nicht zu
den natürlichen Zahlen gleichmàchtig ist: womit wir wieder bei dem
Problem der Diagonalisierung wàren.



Da muss man vorsichtig sein. Hier sind einige Experten, die Du leicht
mit solchen Äußerungen verstimmen kannst. Abzàhlbarkeit bedeutet ja,
dass eine Nummerierung hergestellt werden *kann*. Wenn man davon
ausgeht, dass die Menge |N "existiert", dann kann man durch eine
Bijektion n <--> n eine Abzàhlung aller nachweisen.

Es bedeutet auch, dass wir das Auswahlaxiom im Hinblick auf unendliche
Mengen kritisch beàugen müssen: Wenn wir aus den natürlichen Zahlen mit
dem Auswahlaxiom eine beliebige wàhlen, gehen wir ja davon aus, dass
z.B. ihre Differenz zur 1 berechenbar ist.
Dann darf das Auswahlaxiom aber nie eine Zahl von der "unteren Kante"
des Dreiecks wàhlen, die aber in den natürlichen Zahlen enthalten sein
sollte! Da muss man dann schon aufpassen, wie man das Axiom einsetzt,
damit man keine Widersprüche bekommt.



Die "untere Kante" gibt es nicht. Ich benutze mit meinem
Dreiecksbeispiel die Identitàt von vollstàndiger Diagonale und
"unterer Kante", um zu beweisen, dass auch die vollstàndige Diagonale
nicht existiert.

Nachsatz:
Das Dreieck muss übrigens nicht offen sein.

1
4 7
10 13 16
.
..
...
17 18
8 14 .. 15 9
2 5 11 12 6 3

Nicht abzàhlbare Bereiche gibt es trotzdem, z.B. das Dreieck, dessen
Ecken durch Mittelpunkte der Außenkanten definiert sind (flàchenmàßig
ein Viertel der natürlichen Zahlen!).




Ja, die Annahme der Menge aller natürlichen Zahlen führt auf solche
Probleme wie diese Mittelpunkte.
Doch die Vertreter der Theorie behaupten, dass zwar alle Zahlen
existieren, aber keine letzte und damit auch keine mittlere. Ein
àhnliches Beispiel ist der kleinste positive Bruch. Wenn man alle
Brüche abzàhlen kann und wenn aleph_0 eine sinnvolle Bedeutung
besitzt, dann kann man die abgezàhlten Brüche durch aleph_0
Transpositionen von nebeneinanderstehenden Paaren so umstellen, dass
der kleinste Bruch an erster Stelle steht. Widerspruch.

Aber ich will nicht zuviele Punkte auf einmal ansprechen. Sonst wirkt
das wie ein Kontinuum.
(Panischer Seufzer des Portiers in Hilberts Hotel, nachdem er
unendlich viele Gàste aus unendlich vielen Reisebussen untergebracht
hat: Hoffentlich kommt jetzt kein Kontinuum!)

Gruß, WM

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