Dedekinds Unfug

08/12/2011 - 07:50 von Vogel | Report spam




Die Definition von Dedekind für eine unendlichen Menge, ohne Bezug auf die
Menge der natürlichen Zahlen:




"Eine Menge heißt unendlich, falls sie zu einer ihren echten Teilmengen
gleichmàchtig ist."




ist offensichtlicher Unfug, denn sie führt zum Widerspruch.




(1) Eine Menge A heißt echte Teilmenge einer Menge B, wenn jedes
Element von A auch Element von B ist und (mindestens) ein Element
in B existiert, das nicht in A enthalten ist.




Das gilt sowohl für endiche als auch unedliche grosse Mengen.




Gemàss Definition (1) hat jede Menge mehr Elemente als jede ihrer "echten
Teilmengen". Also können "echte Teilmenge" und "Obermenge" nicht gleich
màchtig sein. Das gilt sowohl für endliche als auch unedliche grosse
Mengen.




Es existiert gemàss Definition (1) immer eine Element (r c {R\U} ), das in
der echten Teilmenge {U c R} nicht enthalten ist.




Auch existiert eine bijektive Abbildung von {R} auf eine echte Teilmeng {U
c R} nicht.




Denn gemàss (1):




{R} = {{R\U} "+" {U}}




Wàre folgende Abbildung bijektiv




f:{{R\U} "+" {U}}->{U}




muss es auch eine bijektive Umkehrfunktion geben




g:{U}->{{R\U} "+" {U}}




Diese ist ganz offensichtlich nicht surjektiv, denn es existiert ganz
offenbar eine bijektive Abbildung.




{U}->{U}




eine Menge ist gleichmàchtig mit sich selber




{R\U} kann dann nicht mehr abgebildet werden.




Aus Bronstein:




surjektiv: jeder Bildpunkt hat (also mindestens) einen Urpunkt. Es dürfen
also mehr Urpunkte als Bildpunkte sein, aber nicht mehr Bildpunkte als
Urpunkte




injektiv: jeder Bildpunkt hat nur einen Urpunkt (es dürfen also mehr
Urpunkte als Bildpunkte sein)




"Zwei Mengen heißen gleichmàchtig , falls es zwischen ihnen eine bijektive
Abbildung gibt"




ist also falsch.


 

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#1 K.Huller
08/12/2011 - 09:31 | Warnen spam
Vogel wrote:







"Eine Menge heißt unendlich, falls sie zu einer ihren echten Teilmengen
gleichmàchtig ist."



ist offensichtlicher Unfug, denn sie führt zum Widerspruch.





[zur für 'Gleichmàchtigkeit' erforderlichen bijektiven Abbildung zwischen
der Menge R und ihrer echten Teilmenge U]



muss es auch eine bijektive Umkehrfunktion geben



g:{U}->{{R\U} "+" {U}}



Diese ist ganz offensichtlich nicht surjektiv, denn es existiert ganz
offenbar eine bijektive Abbildung.



{U}->{U}



eine Menge ist gleichmàchtig mit sich selber



{R\U} kann dann nicht mehr abgebildet werden.






Kannst du den Widerspruch mal konkret an gàngigen Beispielen
demonstrieren /z.B. natürliche und rationale Zahlen oder reelle Zahlen und
Intervall ]0,1[)? Ich verstehe nàmlich nicht, warum die Existenz einer
bijektiven Abbildung zwischen irgendwelchen Mengen etwas damit zu tun haben
sollte, daß es zwischen den betreffenden Mengen weitere Abbildungen gibt,
darunter nicht-surjektive.
(vielleicht kommen wir damit auch in einer anderen Debatte ein Stück weiter)

Gruß
Knut

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