Def. lineare Abbildung

01/12/2008 - 08:14 von Joachim Mohr | Report spam
Hallo!

Bei der Diskussion Vertauschbarkeit von Abbildungen
wurde erwàhnt, wie die linerare Abbildung in Vektorràumen
definieret werden kann.

I f ist linear, wenn
f(ax)=af(x)
und f(x+y)=f(x)+f(y)

II f ist linear, wenn
f(ax+by) = a*f(x) + b*f(y) ist

III f ist linear, wenn

f(ax+b) = a*f(x) + f(y)

(für alle ...)


Alle drei sind gleichwertig.
Trotzdem finde ich die Def. III (Wikipedia)
sollte vermieden werden und zwar aus
àstetischen Gründen.

Sie ist zwar formal die kürzeste und I bzw.
III làßt sich leicht herleiten daraus.

Mich stört aber gewaltig die Unsymmetrie!

Wer hat nur diesen Unsinn eingeführt?

MFG Joachim


Joachim Mohr Tübingen
http://www.joachimmohr.de/neu.html
 

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#1 Herbert Newman
01/12/2008 - 08:41 | Warnen spam
Am Mon, 01 Dec 2008 08:14:13 +0100 schrieb Joachim Mohr:


Def. 1) f ist linear, wenn

f(ax) = a*f(x) und
f(x + y) = f(x) + f(y).

Def. 2) f ist linear, wenn

f(ax + by) = a*f(x) + b*f(y).

Def. 3) f ist linear, wenn

f(ax + y) = a*f(x) + f(y).

(Jeweils für alle ...)

Alle drei sind gleichwertig.

Trotzdem finde ich die Def. 3) ... sollte vermieden werden
und zwar aus àsthetischen Gründen.



Aha. Tja, wie heißt es doch so schön: Die Schönheit liegt im Auge des
Betrachters...


Sie ist zwar formal die kürzeste, und 1) bzw. 2) làßt sich leicht
herleiten daraus.



Das ist doch schon mal was! :-)


Mich stört aber gewaltig die Unsymmetrie!



Nun ja... Habe mir das nochmal angesehen... Und habe bemerkt, dass die
"Unsymmetrie" eine nur scheinbare ist... :-)

Denn man kann das ja auch SO schreiben:

f ist linear, wenn

f(ax + 1y) = a*f(x) + 1*f(y).

Dann ist ein "Koeffizient" zwar fix/konstant, und zwar = 1, und der andere
variabel; immerhin scheint mir jetzt die Sache "symmetrischer" zu sein. :-)
(Wobei man ja wegen der "Symmetrie" von "+" auch f(1y + ax) = ... schreiben
kann, so dass man eben nicht _beide_ Fàlle betrachten muss; daher die "Un-
symmetrie" in diesem Fall.)

Vor allem wird das deutlich, wenn man nun a = 1 setzt:

f(1x + 1y) = 1*f(x) + 1*f(y).

Also: f(x + y) = f(x) + f(y).

usw.


Wer hat nur diesen Unsinn eingeführt?



Was hast Du gegen schlichte Eleganz?


Herbert

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