Definition der Unbedingten Konvergenz mittels Ketten

28/11/2011 - 10:22 von Rainer Rosenthal | Report spam
Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
http://planetmath.org/encyclopedia/...gence.html

Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
konvergiert mit gleicher Summe s.

Eine angeblich àquivalente Definition ist diese:
Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
von endlichen Teilmengen von IN.
Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
(Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
Summe aller a_n, n Element von S.)

Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
ist schon verblüffend, dass in der àquivalenten Definition
der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwàhnt werden muss.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de

==<wiekommeichdarauf>
Ich hatte mich gefragt, wie unser lieber Unendlichkeitsfeind
Prof. Dr. Wolfgang Mückenheim mit dem Phànomen umgeht, dass
es konvergente Reihen gibt, deren Summe davon abhàngig ist,
in welcher Reihenfolge die Summanden aufgezàhlt werden.

Darum bin ich in das entsprechende Kapitel seines Buches [1]
gegangen und habe dort nicht nur das berühmte Beispiel der
alternierenden harmonischen Reihe gefunden, also

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -+ ...

mit zwei interessanten Umordnungen, sondern auch den für mich
ràtselhaften Satz, dass eine Reihe genau dann /unbedingt/
konvergiert, wenn sie /absolut/ konvergiert.

Da mir absolute Konvergenz gelàufig war und ich bislang nichts
anderes wusste, als dass die Konvergenz der Reihe der Absolut-
betràge damit gleichbedeutend sei, dass man die Reihenglieder
beliebig umordnen dürfe, war ich erstaunt. Warum denn den
Begriff "unbedingt konvergent" einführen (noch dazu für Leute
in den ersten Semestern), wenn das ohnehin mit "absolut
konvergent" gleichbedeutend ist?

WikiPedia hat mich aufgeklàrt:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Im unendlichdimensionalen Raum sind die unbedingte Konvergenz
und die absolute Konvergenz nicht mehr àquivalent. Dies besagt
der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und
Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Pràzise besagt er, dass
in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt
konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert.
Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt
konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Immer neugieriger werdend, hat es mich über WikiPedia zu
PlanetMath.org verschlagen, also zu dem eingangs erwàhnten
Link.

[1] Wolfgang Mückenheim, "Mathematik für die ersten Semester"
Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2010, 2. Auflage, 2010

</wiekommeichdarauf>
 

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#1 Carsten Schultz
28/11/2011 - 10:45 | Warnen spam
Am 28.11.11 10:22, schrieb Rainer Rosenthal:
Ich würde mich über Hilfe zur Selbsthilfe freuen beim Versuch,
die Äquivalenz zu verstehen, die hier behauptet wird:
http://planetmath.org/encyclopedia/...gence.html

Es wird darin definiert, dass eine konvergente Reihe Sum a_n
mit Summe s genau dann /unbedingt/ konvergiert, wenn für jede
Permutation p der natürlichen Zahlen gilt, dass Sum a_p(n)
konvergiert mit gleicher Summe s.

Eine angeblich àquivalente Definition ist diese:
Man betrachtet Ketten S1 c S2 c S3 c ... (c = Teilmengensymbol)
von endlichen Teilmengen von IN.
Wenn für jede solche Kette gilt, dass die Folge der Partial-
summen konvergiert, dann ist die Reihe unbedingt konvergent.
(Die zu einem Kettenglied S gehörende Partialsumme ist die
Summe aller a_n, n Element von S.)



Ja, und man kann das auch anders formulieren. Die endlichen Teilmengen
von IN bilden mit der Inklusion eine gerichtete Menge, und ordne ich
jeder endlichen Teilmenge die zugehörige Summe zu, so ist das ein Netz.
Es wird nun die Konvergenz dieses Netzes gefordert. Die Äquivalenz zu
zeigen habe ich mal als Übungsaufgabe in Topologie I gestellt ;)

Aber zu der Formulierung hier: Ist p eine Permutation, so ist
(M_{p,n})_n := ({p(k) | k<=n})_n eine solche Kette. Ist andererseits
die Kette (S_n)_n gegeben, so existiert eine Permutation p, so dass
(M_{p,n})_n Teilfolge von (S_n)_n ist.


Beim Hinschreiben beginne ich zu ahnen, was Sache ist, aber es
ist schon verblüffend, dass in der àquivalenten Definition
der Summenwert der Reihe gar nicht mehr erwàhnt werden muss.



Wieso? Der Wert der Reihe ist doch auch als Limes der Folge der
Partialsummen definiert.

Gruß

Carsten

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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