Definition des Tensorprodukts nach Jaenich

03/09/2008 - 15:54 von odt | Report spam
Kürzlich bin ich über die Definition des Tensorprodukts (und
allgemeiner von Tensoren) in K. Jànichs "Vektoranalysis"
(1992) gestolpert. Bisher kannte ich Definitionen, die Tensoren
als multilineare Abbildungen aus dem cartesischen Produkt
von z. B. r Vektorràumen und s dualen Vektorràumen in den
zugehörigen Körper definieren, also z.B.

T: V × ... × V × V* × ... × V* -> |K, T multilinear


Jànich definiert nun ein Tensorprodukt zweier Vektorràume V, W
als Paar (V \otimes W, t) eines Vektorraums V \otimes W
(\otimes steht für das übliche Vektorproduktzeichen)
und einer "universell bilinearen" Verknüpfung

t: V × W -> V \otimes W

so daß zu jeder bilinearen Abbildung f: V × W -> X eine lineare
Abbildung \phi: V \otimes W -> X existiert mit f = \phi ° t.

Für die eigentliche Konstruktion des Tensorprodukts wird dann
noch ein reeller Vektorraum F(A) der "formalen Linearkombinationen"
c_1 a_1 + ... + c_k a_k bemüht mit der kanonischen Abbildung A -> F(A):
a |-> 1a. Für den Fall A = V × W hat man jetzt eine Abbildung
V × W -> F(V × W), und schließlich bildet man noch den Quotiententraum
F(V × W) / F_0, wobei F_0 alles enthàlt, was die Bilinearitàt der
Abbildung stört, also explizit den Vektorraum, der durch die
Elemente

(c_1 v_1 + c_2 v_2, w) - c_1 (v_1, w) - c_2 (v_2, w)
(v, c_1 w_1 + c_2 w_2) - c_1 (v, w_1) - c_2 (v, w_2)

erzeugt wird und erhàlt so schließlich die universell bilineare
Abbildung t: V × W -> V \otimes W := F(V × W) / F_0.


Warum macht man das? Ist das etwas anderes (etwas allgemeineres?)
als die kurze Definition, die ich oben genannt habe?

Ich bin dankbar für jeden Erklàrungsversuch

Olaf
 

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#1 Norbert Marrek
03/09/2008 - 23:54 | Warnen spam
Olaf Dietrich schrieb:
Kürzlich bin ich über die Definition des Tensorprodukts (und
allgemeiner von Tensoren) in K. Jànichs "Vektoranalysis"
(1992) gestolpert. Bisher kannte ich Definitionen, die Tensoren
als multilineare Abbildungen aus dem cartesischen Produkt
von z. B. r Vektorràumen und s dualen Vektorràumen in den
zugehörigen Körper definieren, also z.B.

T: V × ... × V × V* × ... × V* -> |K, T multilinear




Hier hast Du aber noch nicht Deine Definition eines Tensorproduktes
beschrieben.


Jànich definiert nun ein Tensorprodukt zweier Vektorràume V, W
als Paar (V \otimes W, t) eines Vektorraums V \otimes W
(\otimes steht für das übliche Vektorproduktzeichen)
und einer "universell bilinearen" Verknüpfung

t: V × W -> V \otimes W

so daß zu jeder bilinearen Abbildung f: V × W -> X eine lineare
Abbildung \phi: V \otimes W -> X existiert mit f = \phi ° t.

Für die eigentliche Konstruktion des Tensorprodukts wird dann
noch ein reeller Vektorraum F(A) der "formalen Linearkombinationen"
c_1 a_1 + ... + c_k a_k bemüht mit der kanonischen Abbildung A -> F(A):
a |-> 1a. Für den Fall A = V × W hat man jetzt eine Abbildung
V × W -> F(V × W), und schließlich bildet man noch den Quotiententraum
F(V × W) / F_0, wobei F_0 alles enthàlt, was die Bilinearitàt der
Abbildung stört, also explizit den Vektorraum, der durch die
Elemente

(c_1 v_1 + c_2 v_2, w) - c_1 (v_1, w) - c_2 (v_2, w)
(v, c_1 w_1 + c_2 w_2) - c_1 (v, w_1) - c_2 (v, w_2)

erzeugt wird und erhàlt so schließlich die universell bilineare
Abbildung t: V × W -> V \otimes W := F(V × W) / F_0.


Warum macht man das? Ist das etwas anderes (etwas allgemeineres?)
als die kurze Definition, die ich oben genannt habe?




Jànich ist auf alle Fàlle allgemeiner, da er nicht nur Produkte eines
Vektorraumes V und seines Duals behandelt sondern beliebige Vektorràume
V und W.
Ausserdem sieht man in der Konstruktion sofort, dass das Tensorprodukt
zur Linearisierung von bilinearen Abbildungen verwendet werden kann.

Ich bin dankbar für jeden Erklàrungsversuch

Olaf




Aloha,
Norbert

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