Definition von "elementarer" Beweis

28/06/2011 - 20:37 von Fridolin | Report spam
Ich finde leider keine vernünftige Definition für den Begriff
"elementarer" Beweis. Wann ist ein Beweis nicht mehr elementar? Warum
gelten funktionstheoretische Methoden als nicht elementar? Wie ist der
Begriff "Element" in diesem Zusammenhang überhaupt zu verstehen.
Wohlgemerkt, ein elementarer Beweis ist nicht automatisch "leichter" als
ein "Nicht-elementarer", aber ein Nicht-elementarer verwendet andere
Methoden. Was ist das Merkmal eines "Nicht-elementaren" Beweises???

Fridolin
 

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#1 Franz Fritsche
28/06/2011 - 21:43 | Warnen spam
Am Tue, 28 Jun 2011 20:37:50 +0200 schrieb Fridolin:

Ich finde leider keine vernünftige Definition für den Begriff
"elementarer" Beweis. Wann ist ein Beweis nicht mehr elementar?



Habe gerade den dt. Satz

"[Diese] Beweise des Primzahlsatzes [von Hadamard und
de la Vallée Poussin] sind also nicht ¥elementarŽ,
sondern verwenden funktionentheoretische Methoden."

gelesen. (Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz.) Man kann also
davon ausgehen, dass ein Beweis, der funktionentheoretische Methoden ver-
wendet, nicht mehr als "elementar" angesehen wird. :-P

Warum gelten funktionstheoretische Methoden als nicht elementar?



Achselzuck.

Wie ist der Begriff "Element" in diesem Zusammenhang überhaupt zu verstehen.



Schàtze dazu geht man am Besten auf das englische Wort "elementary" zurück:

"elementary: einfach, elementar, grundlegend"

- wobei hier -in diesem Kontext- "einfach" natürlich nicht notwendigerweise
"simple" bedeuten muss, wie Du selbst schon erwàhnt hast. ;-P

Da eine _exakte_ Definition dieses "Begriffs" offenbar nicht vorliegt (wohl
aber eine "Gebrauchsdefinition") ist es vielleicht eine gute Idee, sich mit
"Beispielen" für "elementare Beweise" zufrieden zu geben. Hier ein
prominentes, über das ich gerade gestolpert bin:

"Der Primzahlsatz

Zusammenfassung

Im Jahr 1896 wurde von Hadamard und de la Vallee Poussin der Primzahlsatz
bewiesen: Die Anzahl der Primzahlen kleiner gleich x verhàlt sich
asymptotisch wie x/log x. Für ihren Beweis war allerdings die Verwendung
von komplex-analytischen Hilfsmittel wesentlich, und es war eine Sensation
als 1948 ein elementarer Beweis von Erdös und Selberg angekündigt wurde.
Hier stellen wir eine Variante dieses elementaren Beweises von Hardy und
Wright vor."

Quelle: rho.math.uni-rostock.de/SemSkripte/Primzahlsatz.pdf

Auch sehr interessant:

D. Goldfeld, The elementary proof of the prime number theorem:
an historical perspective.
http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ErdosSelbergDispute.pdf

MfG,
FF

A proof only becomes a proof after the social act of "accepting it as a
proof". (Yuri Manin)

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