Denksport WM2

30/09/2010 - 15:27 von Jürgen R. | Report spam
Es wurde von einem Mitglied dieser Gruppe bewiesen,
dass die irrationalen Zahlen abzàhlbar sind.

Nun zitiert dieses Mitglied einen Gleichgesinnten,
der meint, dass die rationalen Zahlen wahrscheinlich
überabzàhlbar sind. Dessen Argument ist recht
lustig.

Denksportaufgabe WM2:

Es sei {R_n} für n= 1, 2, 3, ... eine Folge, die alle
rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 enthàlt.
Wie in Cantors Diagonalverfahren konstuiert man
nun eine Zahl als Dezimalbruch
D = Summe {d_n 10^(-n)}, wobei d_n != r_nn und
r_ni die i-te Dezimalstelle von R_n ist.

Nun meint der Author es sei gut denkbar, dass man
die Folge der rationalen Zahlen so umordnen könne,
dass die Diagonalzahl D der umsortierten Folge
periodisch wird; d.h. dass es Umsortierung gàbe, die
rationale Diagonalzahlen zulassen. Dann hàtte man
einen offensichtlichen Widerspruch.

Preisfrage: Wie beweist man direkt, dass die Diagonalzahl
nicht rational sein kann; d.h. ohne die bekannte Tatsache
auszunutzen, dass die rationalen Zahlen abzàhlbar sind.
 

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#1 Christopher Creutzig
30/09/2010 - 21:15 | Warnen spam
On 9/30/10 3:27 PM, Jürgen R. wrote:

Es sei {R_n} für n= 1, 2, 3, ... eine Folge, die alle
rationalen Zahlen zwischen 0 und 1 enthàlt.
Wie in Cantors Diagonalverfahren konstuiert man
nun eine Zahl als Dezimalbruch
D = Summe {d_n 10^(-n)}, wobei d_n != r_nn und
r_ni die i-te Dezimalstelle von R_n ist.

Preisfrage: Wie beweist man direkt, dass die Diagonalzahl
nicht rational sein kann; d.h. ohne die bekannte Tatsache
auszunutzen, dass die rationalen Zahlen abzàhlbar sind.



Tranh trabzzra vfg Qrvar Sentr gevivny mh ornagjbegra: Anpu
Ibenhffrgmhat raguàyg {E_a} nyyr engvbanyra Mnuyra, Q vfg nore avpug va
qvrfre Zratr ragunygra.

Yrvqre frur vpu süe rva nyytrzrvarf Q anpu bovtre Xbafgehxgvba abpu
xrvara Nafngm, buar qvrfr Rvtrafpunsg mh ahgmra, nore zve vfg orvz
Anpuqraxra rgjnf anur Irejnaqgrf nhstrsnyyra, jnf vpu fvpureyvpu avpug
nyf refgre trfrura unor, nore zve jne rf arh (bqre teüaqyyvpu ragsnyyra):

Frv (E_a) jvr bora. Orgenpugr qvr Mvssreasbytr (f_a) = (e_aa).
Orunhcghat: (f_a) vfg avpug qvr Sbytr qre Qrmvznyfgryyra rvare
engvbanyra Mnuy.

Orjrvf: Natrabzzra, (f_a) jàer fb rvar Sbytr. Qnaa jàer qvr Sbytr (f_a)
anpu rvare Ibecrevbqr qre Yàatr y (≥0) crevbqvfpu zvg Yàatr z. Qvr Zratr
G engvbanyre Mnuyra, qrera Ibecrevbqr rvar Yàatr iba uöpufgraf y ung,
trsbytg iba rvare Crevbqr qre Yàatr z, zvg qre Rvtrafpunsg, qnff (zvg
Qrmvznymvssreasbytr (g_a)) süe nyyr y < v ≤ y+z qvr Hatyrvpuhat f_v ≠
g_v tvyg, raguàyg 10^y*9^z Ryrzragr[1], wrqrasnyyf zrue nyf y. Nyfb vfg
nhpu G \ {E_1, …, E_y} avpug yrre, rf rkvfgvreg nyfb, qn G p D = {E_a},
rva g r G zvg g = E_x haq x > y. Qnzvg vfg g_x = f_x, vz Jvqrefcehpu mhe
Xbafgehxgvba qre Zratr G.

[1] Qre Orjrvf vtabevreg na qvrfre Fgryyr qvr Ceboyrzr zvg avpug
rvaqrhgvtra Qnefgryyhatra iba engvbanyra Mnuyra zvg nooerpuraqre
Qrmvznyqnefgryyhat. Qvr Namnuy yvrtg zvg Fvpureurvg mjvfpura 10^y*8^z
haq 10^y*9^z, wrqrasnyyf nhfervpuraq ubpu.

Waren Sie früher mal erwachsen? (Markus Sigg an Wolfgang Mückenheim)

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