Der Aufenhaltsraum eines gebundenes Elektrons, das Orbital, muß kompakt sein - Oder gibt es da schon wieder was zu motzen, Schulversager ?

29/04/2013 - 17:34 von Miles Millionaire | Report spam
Eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen (oder allgemeiner des euklidischen Raumes ) ist genau dann kompakt, wenn sie beschrànkt und abgeschlossen ist.
Sie darf also keine Folgen enthalten, die zwar konvergieren, deren Grenzwert jedoch nicht zu der Menge gehört. Auch Folgen, deren Wert „über alle Grenzen wàchst“ (also keinen Grenzwert besitzen), dürfen nicht enthalten sein.
Dieser Artikel behandelt eine vereinfachte Version der Kompaktheit, wie sie in oder im richtig ist. Obige Definition ist im Falle allgemeiner topologischer Ràume nicht korrekt; der allgemeine Begriff wird im Artikel „Kompakter Raum“ dargestellt.


Auf der Grundlage dieser Definition làsst sich beweisen: Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist genau dann kompakt,
wenn jede Folge aus der Menge eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert zu der Teilmenge gehört (diese Bedingung definiert Folgenkompaktheit), oder
wenn aus jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung gewàhlt werden kann (dies definiert Überdeckungskompaktheit).


Der Begriff der Kompaktheit làsst sich ohne weiteres auf den und auf andere endlichdimensionale Vektorràume verallgemeinern.
Neue Gesichtspunkte ergeben sich bei unendlichdimensionalen Ràumen und bei allgemeinen topologischen Ràumen, siehe kompakter Raum. Die Verbindung zum Spezialfall wird dann durch den Satz von Heine-Borel hergestellt. Folgenkompaktheit und Überdeckungskompaktheit sind in einem beliebigen topologischen Raum unter Umstànden nicht mehr dasselbe.
Sei M eine Teilmenge eines topologischen Raumes. M heißt kompakt, wenn es für jede offene Überdeckung , eine endliche Teilüberdeckung von M gibt. D.h. es gibt eine endliche Teilmenge und .

Nach Definition müssen die offene Mengen sein, und die Eigenschaft muss für jede solche Überdeckung nachgewiesen werden. Es genügt nicht, nur für bestimmte Überdeckungen nachzuweisen, dass endliche Teilüberdeckungen existieren.


Seien a und b reelle Zahlen und a < b.
Ein geschlossenes Intervall [a,b] ist kompakt. Jede konvergente Folge in diesem Intervall muss auf einen Intervallwert konvergieren.
Die halboffenen Intervalle ]a,b], [a,b[ und das offene Intervall ]a,b[ sind nicht kompakt, da sie nicht abgeschlossen sind. Es gibt Folgen, die auf einen Randpunkt des Intervalls konvergieren.
Die Menge der reellen Zahlen ist nicht kompakt, da sie zwar abgeschlossen, aber nicht beschrànkt ist. Sie enthàlt deshalb Zahlenfolgen, von denen jede Teilfolge „über alle Grenzen wàchst“ (zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen).
 

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#1 Miles Millionaire
30/04/2013 - 10:00 | Warnen spam
Am Montag, 29. April 2013 17:34:39 UTC+2 schrieb Miles Millionaire:
Eine Teilmenge der Menge der reellen Zahlen (oder allgemeiner des euklidischen Raumes ) ist genau dann kompakt, wenn sie beschrànkt und abgeschlossen ist.

Sie darf also keine Folgen enthalten, die zwar konvergieren, deren Grenzwert jedoch nicht zu der Menge gehört. Auch Folgen, deren Wert „über alle Grenzen wàchst“ (also keinen Grenzwert besitzen), dürfen nicht enthalten sein.

Dieser Artikel behandelt eine vereinfachte Version der Kompaktheit, wie sie in oder im richtig ist. Obige Definition ist im Falle allgemeiner topologischer Ràume nicht korrekt; der allgemeine Begriff wird im Artikel „Kompakter Raum“ dargestellt.





Auf der Grundlage dieser Definition làsst sich beweisen: Eine Teilmenge der reellen Zahlen ist genau dann kompakt,

wenn jede Folge aus der Menge eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert zu der Teilmenge gehört (diese Bedingung definiert Folgenkompaktheit), oder

wenn aus jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung gewàhlt werden kann (dies definiert Überdeckungskompaktheit).





Der Begriff der Kompaktheit làsst sich ohne weiteres auf den und auf andere endlichdimensionale Vektorràume verallgemeinern.

Neue Gesichtspunkte ergeben sich bei unendlichdimensionalen Ràumen und bei allgemeinen topologischen Ràumen, siehe kompakter Raum. Die Verbindung zum Spezialfall wird dann durch den Satz von Heine-Borel hergestellt. Folgenkompaktheit und Überdeckungskompaktheit sind in einem beliebigen topologischen Raum unter Umstànden nicht mehr dasselbe.

Sei M eine Teilmenge eines topologischen Raumes. M heißt kompakt, wenn es für jede offene Überdeckung , eine endliche Teilüberdeckung von M gibt. D.h. es gibt eine endliche Teilmenge und .



Nach Definition müssen die offene Mengen sein, und die Eigenschaft muss für jede solche Überdeckung nachgewiesen werden. Es genügt nicht, nur für bestimmte Überdeckungen nachzuweisen, dass endliche Teilüberdeckungen existieren.





Seien a und b reelle Zahlen und a < b.

Ein geschlossenes Intervall [a,b] ist kompakt. Jede konvergente Folge in diesem Intervall muss auf einen Intervallwert konvergieren.

Die halboffenen Intervalle ]a,b], [a,b[ und das offene Intervall ]a,b[ sind nicht kompakt, da sie nicht abgeschlossen sind. Es gibt Folgen, die auf einen Randpunkt des Intervalls konvergieren.

Die Menge der reellen Zahlen ist nicht kompakt, da sie zwar abgeschlossen, aber nicht beschrànkt ist. Sie enthàlt deshalb Zahlenfolgen, von denen jede Teilfolge „über alle Grenzen wàchst“ (zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen).



Als ich mich noch D-Orbital nannte, hab ich auch dieses hàufigste Orbital auch erforscht.

Da das e- ein Punkt ist paßt es genau in einen kompakten Raum hinein.

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