In der Klausur mußte ich die Definition der Splines hinschreiben

13/08/2013 - 20:00 von UK Number 1 | Report spam
KLAUSUR NICHT BESTANDEN !!!

" Es gibt keine Nachholklausur " sagt der Prof im Treppenflur auf Nachfrage.

" Befehl von Professor Steinlein ! "

Schluuuchzzzz ..


Definition


Die B-Spline-Basisfunktionen N_{i,p,\tau}\ (i=0,\ldots,n-p-2) der Ordnung p mit Knotenvektor \tau = (\tau_0,\ldots,\tau_{n-1}) \quad (n\ge 2\,p) werden durch die Rekursionsformel von de Boor/Cox/Mansfield definiert:[1]

N_{i,0,\tau}(u) = \begin{cases} 1, & u\in\left[\tau_i,\tau_{i+1}ight[ \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
und

N_{i,p,\tau}(u) = \frac{u-\tau_{i}}{\tau_{i+p}-\tau_{i}}\,N_{i,p-1,\tau}(u) \;+\; \frac{\tau_{i+p+1}-u}{\tau_{i+p+1}-\tau_{i+1}}\,N_{i+1,p-1,\tau}(u) für p>0.
Die Elemente des Knotenvektors heißen auch Knotenpunkte (engl. knots) und müssen die Bedingungen \tau_{i}\le\tau_{i+1} und \tau_{i} < \tau_{i+p} erfüllen. Die Ordnung p einer B-Spline-Basisfunktion gibt den Grad für jedes stückweise definierte Polynom innerhalb einer Basis an. Sie ist um eins niedriger als die Anzahl benötigter Koeffizienten.

Eigenschaften:

Nicht-Negativitàt: N_{i,p,\tau}(u)\ge 0
Lokaler Tràger: N_{i,p,\tau}(u)= 0\mbox{ falls }uot\in [\tau_{i},\tau_{i+p+1}[
Zerlegung der Eins: \sum_{i=1}^{n-p} N_{i,p,\tau}(u) = 1 für u\in[\tau_{p},\tau_{n-p+1}[
Ableitung:[2] \frac{d}{du}N_{i,p,\tau}(u) = N'_{i,p,\tau}(u) = \frac{p}{\tau_{i+p}-\tau_{i}}N_{i,p-1,\tau}(u) - \frac{p}{\tau_{i+p+1}-\tau_{i+1}}N_{i+1,p-1,\tau}(u) für p>1.
Bemerkung:

Die Bedingungen an die Knotenpunkte \tau_i erlauben es, dass in der Rekursionsformel unter Umstànden 0 als Nenner auftritt (nàmlich wenn \tau_{i+p}=\tau_{i} bzw. \tau_{i+p+1}=\tau_{i+1} gilt). Allerdings ist dann die Funktion N_{i,p,\tau} bzw. N_{i+1,p,\tau} automatisch die Nullfunktion. Auf die entsprechende Fallunterscheidung wird hier verzichtet, man ignoriere die entsprechenden Summanden in diesen Fàllen (ersetze sie durch 0). Dies entspricht auch dem Grenzverhalten für z. B. \tau_{i+p}\to\tau_{i}.
 

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#1 UK Number 1
14/08/2013 - 17:10 | Warnen spam
Am Dienstag, 13. August 2013 20:00:38 UTC+2 schrieb UK Number 1:
KLAUSUR NICHT BESTANDEN !!!



" Es gibt keine Nachholklausur " sagt der Prof im Treppenflur auf Nachfrage.



" Befehl von Professor Steinlein ! "



Schluuuchzzzz ..





Definition





Die B-Spline-Basisfunktionen N_{i,p,\tau}\ (i=0,\ldots,n-p-2) der Ordnung p mit Knotenvektor \tau = (\tau_0,\ldots,\tau_{n-1}) \quad (n\ge 2\,p) werden durch die Rekursionsformel von de Boor/Cox/Mansfield definiert:[1]



N_{i,0,\tau}(u) = \begin{cases} 1, & u\in\left[\tau_i,\tau_{i+1}ight[ \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}

und



N_{i,p,\tau}(u) = \frac{u-\tau_{i}}{\tau_{i+p}-\tau_{i}}\,N_{i,p-1,\tau}(u) \;+\; \frac{\tau_{i+p+1}-u}{\tau_{i+p+1}-\tau_{i+1}}\,N_{i+1,p-1,\tau}(u) für p>0.

Die Elemente des Knotenvektors heißen auch Knotenpunkte (engl. knots) und müssen die Bedingungen \tau_{i}\le\tau_{i+1} und \tau_{i} < \tau_{i+p} erfüllen. Die Ordnung p einer B-Spline-Basisfunktion gibt den Grad für jedes stückweise definierte Polynom innerhalb einer Basis an. Sie ist um eins niedriger als die Anzahl benötigter Koeffizienten.



Eigenschaften:



Nicht-Negativitàt: N_{i,p,\tau}(u)\ge 0

Lokaler Tràger: N_{i,p,\tau}(u)= 0\mbox{ falls }uot\in [\tau_{i},\tau_{i+p+1}[

Zerlegung der Eins: \sum_{i=1}^{n-p} N_{i,p,\tau}(u) = 1 für u\in[\tau_{p},\tau_{n-p+1}[

Ableitung:[2] \frac{d}{du}N_{i,p,\tau}(u) = N'_{i,p,\tau}(u) = \frac{p}{\tau_{i+p}-\tau_{i}}N_{i,p-1,\tau}(u) - \frac{p}{\tau_{i+p+1}-\tau_{i+1}}N_{i+1,p-1,\tau}(u) für p>1.

Bemerkung:



Die Bedingungen an die Knotenpunkte \tau_i erlauben es, dass in der Rekursionsformel unter Umstànden 0 als Nenner auftritt (nàmlich wenn \tau_{i+p}=\tau_{i} bzw. \tau_{i+p+1}=\tau_{i+1} gilt). Allerdings ist dann die Funktion N_{i,p,\tau} bzw. N_{i+1,p,\tau} automatisch die Nullfunktion. Auf die entsprechende Fallunterscheidung wird hier verzichtet, man ignoriere die entsprechenden Summanden in diesen Fàllen (ersetze sie durch 0). Dies entspricht auch dem Grenzverhalten für z. B. \tau_{i+p}\to\tau_{i}.








Und in dieser Klausur ist es immer schön, wenn der Türkenschlàger die drei Stunden lang vor der Hörsaaltüre steht.

Hat eigentlich der JF.Kennedy d'Jacky gebeten ihn zu erschießen ?

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