Der Mittelwertsatz ( aus der Analysis )

05/03/2010 - 18:42 von The Pioneer | Report spam
Bis jetzt hab ich versucht Mathe-Gebiete zu MOTIVIEREN, jetzt

will ich auch mal BEWEISEN :


Es sei f diffbar auf (a,b) offen und stetig auf (a,b) abgeschlossen.

dann existiert in ( a,b) offen mindestens eine Zahl c, für die

f Strich (c) = ( f ( b ) - f ( a ) ) / ( b - a ) ist.
( Mittelwertsatz )

<

Bew:

Wenn f also diffbar in einem gewissen x0 ist, so

ist bei einem positiven hinreichend kleinem h

f Strich ( x0 + h ) < f ( x0 ) < f ( x0 + h )

. usw, man muß also die DEFINITIONEN von
Differenzierberkeit und Stetigkeit aus nutzen ..

.. um dann am ende folgende ABSCHÄTZUNG ( die einem
natürlich vorschweben muß ) zu erhalten :

. f ( x0 ) < f ( x0 + h) sowie f ( x0 - h ) < f ( x0 )



( War bei meinem Vordiplom gar nicht so leicht, wenn man bedenkt daß
meine Studentenbude jede Woche heimlich von der Kripo durchsucht
wurde ! )
 

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#1 mathemator
05/03/2010 - 19:07 | Warnen spam
The Pioneer wrote:

Bis jetzt hab ich versucht Mathe-Gebiete zu MOTIVIEREN, jetzt

will ich auch mal BEWEISEN :


Es sei f diffbar auf (a,b) offen und stetig auf (a,b) abgeschlossen.

dann existiert in ( a,b) offen mindestens eine Zahl c, für die

f Strich (c) = ( f ( b ) - f ( a ) ) / ( b - a ) ist.
( Mittelwertsatz )

<

Bew:

Wenn f also diffbar in einem gewissen x0 ist, so

ist bei einem positiven hinreichend kleinem h

f Strich ( x0 + h ) < f ( x0 ) < f ( x0 + h )

. usw, man muß also die DEFINITIONEN von
Differenzierberkeit und Stetigkeit aus nutzen ..

.. um dann am ende folgende ABSCHÄTZUNG ( die einem
natürlich vorschweben muß ) zu erhalten :

. f ( x0 ) < f ( x0 + h) sowie f ( x0 - h ) < f ( x0 )




Es ist ja schön, den Mittelwertsatz der Differentialrechnung einmal
wieder zu lesen. Allerdings ist weder sein Zusammenhang mit dem
nachfolgenden Beweis klar noch der Sinn des Beweises selber.

Der Beweis ruft allenfalls die Aussage des lokalen Wachstumssatzes in
die Erinnerung (Wenn f bei x0 differenzierbar ist mit f'(x0)>0, dann
gilt für hinreichend kleines positives h die Aussage
f(x0 + h) < f(x0) < f(x0 + h). )

Aber vielleicht sollte das ja gar kein ernsthafter Beitrag sein?

Klaus-R.

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