Der Mythos von der abgeschlossenen Unendlichkeit

01/04/2012 - 18:13 von Albrecht | Report spam
Die Mathematiker halten seit hundert Jahren an einem Mythos fest, der zwar ihrer Bequemlichkeit dienen mag, aber nicht der Exaktheit der Sache gerecht wird, und damit letztendlich der Mathematik schadet: dem Mythos von der sinnvoll denkbaren Existenz der unendlichen Menge.

Mengen in der Mathematik sind in der Regel durch ihre Elemente bestimmt. Dies ergibt sich beispielsweise bei der wichtigen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre aus dem Extensionalitàts-Axiom. Zwei Mengen sind dann identisch, wenn sie gleichviel und genau die gleichen Elemente enthalten. Im Umkehrschluss unterscheiden sich verschiedene Mengen in mindestens einem Element oder in der Anzahl ihrer Elemente. So sind beispielsweise die Mengen {1, 2, 3} und {1, 2, 3, 4} offensichtlich unterschieden indem die eine Menge das Element "4" enthàlt, die andere nicht.

Auch ist die Menge G_a, die die natürlichen Zahlen von 1 bis Googolplex enthàlt, sowie das Element "a", offensichtlich unterschieden von allen Mengen, die die Zahl 1 und alle folgenden natürlichen Zahlen bis n enthalten, wobei n jede beliebige natürliche Zahl sein kann. Die Menge G unterscheidet sich offensichtlich zumindest durch das Element "a" von jeder dieser anderen Menge.

Unterschiedliche extensionale Mengen unterscheiden sich also anhand der in ihnen enthaltenen konkreten Elemente. Die unendliche Menge wird dieser Anforderung nicht gerecht. Beispielsweise gibt es keine einzige Zahl z in der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen, die nicht mit der 1 und allen dazwischen liegenden Zahlen in einer endlichen Menge (und noch unendlich vielen weiteren endlichen Mengen) enthalten ist. Es gibt kein Element z, das die unendliche Menge natürlicher Zahlen von _jeder_ endlichen Menge natürlicher Zahlen unterscheidet.

Die Tatsache, dass man zu jeder einzelnen endlichen Menge M natürlicher Zahlen ein Element angeben kann, dass in der fiktiven Menge |N, aber nicht in dieser Menge M enthalten ist, etwa "das größte Element von M, um 1 vergrößert", àndert nichts daran, dass für die Klasse X aller Mengen, die die Elemente von bei 1 beginnenden endlichen Folgen natürlicher Zahlen enthalten, gilt: jede natürliche Zahl ist in einer der endlichen Mengen aus X enthalten. Keine natürliche Zahl bleibt übrig um die "unendliche Menge aller natürlichen Zahlen" gegenüber jeder endlichen Menge natürlicher Zahlen auszuzeichnen.

Es gibt kein Element, das die unendliche Menge natürlicher Zahlen von _jeder_ endlichen Menge natürlicher Zahlen unterscheidet. Wodurch wird nun der durchaus plausibel wirkende Eindruck erzeugt, dass die unendliche Menge aller natürlichen Zahlen eine legitime und eigenstàndige Menge sei?

Dieser Eindruck entsteht dadurch, dass sich die so genannte Menge der natürlichen Zahlen von jeder endlichen Menge natürlicher Zahlen durch eine Eigenschaft, nicht durch ein Element, unterscheidet, nàmlich durch die Eigenschaft unendlich zu sein - im Gegensatz zu der Eigenschaft jeder endlichen Menge, endlich zu sein. Eine Menge von anderen Mengen nicht durch mindestens ein Element sondern durch eine Eigenschaft zu unterscheiden verletzt aber das Extensionalitàtsprinzip.

Das Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem ist mit seinem Extensionalitàts-Axiom und seinem Unendlichkeits-Axiom in sich logisch widersprüchlich, auch wenn darauf ein mathematisches System entwickelt werden konnte, das (bisher) keine widersprüchlichen Sàtze erzeugt hat.

Diese Angelegenheit bedarf heute, nach über hundert Jahren Mengenlehre, einer dringenden Richtigstellung. Bedenklich ist nicht die Anwendung des Begriffs der unendlichen Mengen selbst, sondern vielmehr der in fast jeder relevanten Literatur gepflegte Anschein, die Annahme der Existenz der unendlichen Menge sei völlig natürlich und über jeden Zweifel erhaben und berge keinerlei Risiken für die Sicherheit des mathematischen Beweises.

Albrecht Storz
 

Lesen sie die antworten

#1 WM
01/04/2012 - 22:40 | Warnen spam
Am Sonntag, 1. April 2012 18:13:28 UTC+2 schrieb Albrecht:
Die Mathematiker halten seit hundert Jahren an einem Mythos fest, der zwar ihrer Bequemlichkeit dienen mag, aber nicht der Exaktheit der Sache gerecht wird, und damit letztendlich der Mathematik schadet: dem Mythos von der sinnvoll denkbaren Existenz der unendlichen Menge.

Unterschiedliche extensionale Mengen unterscheiden sich also anhand der in ihnen enthaltenen konkreten Elemente. Die unendliche Menge wird dieser Anforderung nicht gerecht. Beispielsweise gibt es keine einzige Zahl z in der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen, die nicht mit der 1 und allen dazwischen liegenden Zahlen in einer endlichen Menge (und noch unendlich vielen weiteren endlichen Mengen) enthalten ist. Es gibt kein Element z, das die unendliche Menge natürlicher Zahlen von _jeder_ endlichen Menge natürlicher Zahlen unterscheidet.



Richtig. Deswegen benötigt die unendliche Menge |N eine externe, nicht durch ihre Elemente gegebene, endliche Definition. Es gibt aber bekanntlich nur abzàhlbar viele solche Definitionen (unendliche Definitionen definieren nichts, sind also keine Definitionen).

Das Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem ist mit seinem Extensionalitàts-Axiom und seinem Unendlichkeits-Axiom in sich logisch widersprüchlich, auch wenn darauf ein mathematisches System entwickelt werden konnte, das (bisher) keine widersprüchlichen Sàtze erzeugt hat.



Falsch. Ein wichtiger Satz, ohne den die ganze transfiniten Hierarchie zusammenbricht (besser gesagt, sich als Humbug erweist, denn um zusammenzubrechen, müsste ja etwas vorhanden sein, das zusammenbrechen könnte), lautet: Jede Menge kann wohlgeordnet werden. Eine Wohlordnung setzt aber wie jede Ordnung die Identifizierbarkeit der zu ordnenden Elemente voraus. Es gibt aber nur abzàhlbar viele Identifikationsmöglichkeiten. Also "ordnen" die Matheologen den Brei des Kontinuums.

Diese Angelegenheit bedarf heute, nach über hundert Jahren Mengenlehre, einer dringenden Richtigstellung.



Warum? Diese Sachen haben keinerlei, wirklich auch nicht die allergeringste Bedeutung für irgendwelche Fragen der Wissenschaft, der angewandten und selbst der abgewandten Mathematik. Sie werden nur von einer kleinen, wenn auch lautstarken und alle Gegenbeweise verteufelnden und wenn möglich verhindernden Sekte geglaubt und verbreitet, wàhrend die übergroße Mehrheit der Mathematiker davon überhaupt kein tiefergehendes Verstàndnis hat und lediglich unreflektierte oder zumindest mangelhaft reflektierte Lerninhalte wiedergibt.

Bedenklich ist nicht die Anwendung des Begriffs der unendlichen Mengen selbst,



Sie ist nicht bedenklich, sondern falsch, denn unendliche Mengen setzen das Unendliche in seiner aktualen Bedeutung voraus. Das Unendlichkeitsaxiom dagegen basiert auf der potentiellen Bedeutung.

Gruß, WM

Ähnliche fragen